3.2 一般形式的柯西不等式-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修4-5同步资源（人教A版）

高中数学 选修4-5 柯西不等式与排序不等式 测试内容：一般形式的柯西不等式 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 学习目标：1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．(重点)2.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．(重点、难点) 初次测验 教材整理1　三维形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)·(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式． 1.已知x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是(　　) A．1　　　　B.　　　　C.　　　　D．2 教材整理2　一般形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则 (a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立． 2.已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 题型一：利用柯西不等式求最值 【例1】　已知a，b，c∈(0，＋∞)，＋＋＝2，求a＋2b＋3c的最小值及取得最小值时a，b，c的值． 练1．已知x＋4y＋9z＝1，求x2＋y2＋z2的最小值． 题型二：运用柯西不等式求参数的取值范围 【例2】　已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范围． 练2．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的取值范围． 题型三：利用柯西不等式证明不等式 [探究问题] 在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？ 【例3】　已知a，b，c∈R＋，求证：＋＋≥9. 练3．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m的值； (2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9. 课堂小测 1．设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a·b的最小值为(　　) A．18　　　　　　　 B．6 C．－18 D．12 2．若a＋a＋…＋a＝1，b＋b＋…＋b＝4，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B．[－2,2] C．(－∞，2] D．[－1,1] 3．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则 的最小值为________． 4．设a，b，c为正数，则(a＋b＋c)的最小值为________． 5．已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值． $高中数学 选修4-5 柯西不等式与排序不等式 测试内容：一般形式的柯西不等式 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 学习目标：1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．(重点)2.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．(重点、难点) 初次测验 教材整理1　三维形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)·(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式． 1.已知x，y，z∈R＋且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是(　　) A．1　　　　B.　　　　C.　　　　D．2 B　[根据柯西不等式，x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)·(x2＋y2＋z2)≥(1×x＋1×y＋1×z)2＝(x＋y＋z)2＝.] 教材整理2　一般形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则 (a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立． 2.已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 A　[(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)＝1×1＝1，当且仅当＝＝…＝＝1时取等号， ∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.]