第四讲 配餐1 用数学归纳法证明不等式-高中数学选修4-5【赢在微点】轻松课堂（人教A版）课件PPT

第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 第四讲 用数学归纳法证明不等式 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 配餐1 用数学归纳法证明不等式 ►►配餐一刻钟　提分更轻松 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 知识与方法 1．与正整数n有关的几个不等式 (1)当n∈N＋，n≥5时，n2<2n。 (2)当n∈N＋时，|sinnθ|<n|sinθ|。 (3)贝努利不等式：如果x是实数，且x>－1，x≠0，n为大于1的自然数，那么有(1＋x)n>1＋nx。 当α是实数，并且满足α>1或者α<0时，有(1＋x)α≥1＋αx(x>－1)； 当α是实数，并且满足0<α<1时，有(1＋x)α≤1＋αx(x>－1)。 (4)如果n(n为正整数)个正数a1，a2，…，an的乘积a1a2…an＝1，那么它们的和a1＋a2＋…＋an≥n。 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 2．数学归纳法证明不等式的技巧 (1)证明不等式时，由n＝k到n＝k＋1的推证过程与证明等式有所不同，不等式中的不等关系需要我们在证明时，对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n＝k时的假设，因此需要认真分析，适当放缩，才能使问题简单化，这是利用数学归纳法证明不等式时常用的方法之一。 (2)数学归纳法的应用通常需要与数学中的其他方法联系在一起，如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等，才能完成证明过程。 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 典型例题 【例1】　用数学归纳法证明1＋eq \f(n,2)≤1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2n)(n∈N＋)。 [导思]　按照数学归纳法的步骤证明，要特别注意当n＝k＋1时的证明方法。 [证明]　(1)当n＝1时，左边＝1＋eq \f(1,2)，右边＝1＋eq \f(1,2)，eq \f(3,2)≤eq \f(3,2)，所以不等式成立。 (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立， 即1＋eq \f(k,2)≤1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2k)成立， 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 则当n＝k＋1时，1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2k)＋eq \f(1,2k＋1)＋…＋eq \f(1,2k＋1)≥1＋eq \f(k,2)＋eq \f(1,2k＋1)＋…＋eq \f(1,2k＋2k)>1＋eq \f(k,2)＋＝1＋eq \f(k,2)＋2k·eq \f(1,2k＋1)＝1＋eq \f(k＋1,2)。 即当n＝k＋1时， 不等式成立。 由(1)(2)可知对所有n∈N＋不等式都成立。 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 [点评]　用数学归纳法证明不等式：第一步，确定n0的值，弄清n＝n0时不等式一侧对应的是哪几项，第二步，即已知fk>gk，求证fk＋1>gk＋1，这一步证明必须用到fk>gk这一假设，证明时要根据欲证明的n＝k＋1时对应的结论，有目的地进行放缩分析。此步证明过程中常用的方法有：比较法、综合法、分析法、放缩法等。 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 【例2】　已知f(x)＝eq \f(xn－x－n,xn＋x－n)。对于n∈N＋，试比较f(eq \r(2))与eq \f(n2－1,n2＋1)的大小并说明理由。 [解]　∵f(x)＝eq \f(xn－x－n,xn＋x－n)＝eq \f(x2n－1,x2n＋1)＝1－eq \f(2,x2n＋1)， ∴f(eq \r(2))＝1－eq \f(2,2n＋1)。又∵eq \f(n2－1,n2＋1)＝1－eq \f(2,n2＋1)， ∴要比较f(eq \r(2))与eq \f(n2－1,n2＋1)的大小， 只需比较2n与n2的大小即可。 当n＝1时，21＝2>12＝1， 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 当n＝2时，22＝4＝22， 当n＝3时，23＝8<32＝9， 当n＝4时，24＝16＝42， 当n＝5时，25＝32>52＝25， 当n＝6时，26＝64>62＝36。 故猜测当n≥5(n∈N＋)时，2n>n2， 下面用数学归纳法加以证明。 (1)当n＝5时，2n>n2显然成立。 第*页 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 (2)假设当n＝k(k≥5，且k∈N＋)时不等式成立，即2k>k2(k≥5)成立， 则当n＝k＋1时， 2k＋1＝2·2k>2·k2＝k2＋k2＋2