考案(二) 第二讲学业质量标准检测-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-5）

现行旧教材·高中新课程学习指导 论正确. 证法二:假设三式同时大于 1 4 . ∵ 0 < a < 1,∴ 1 - a > 0, (1 - a) + b 2 ≥ (1 - a)·b > 1 4 = 1 2 . 同理 (1 - b) + c 2 ,(1 - c) + a 2 都大于 1 2 . 三式相加,得 3 2 > 3 2 ,矛盾, ∴ 原命题成立. 　 　 典例试做 5:设 f(x) = x 1 + x ,x∈(0, + ∞ ),0 < x1 < x2 , 则 f( x2 ) - f( x1 ) = x2 1 + x2 - x1 1 + x1 = x2 - x1 (1 + x2 )(1 + x1 ) > 0, f(x2 ) > f(x1 ), ∴ f(x)在(0, + ∞ )上为单调增函数. ∵ a、b、c 为三角形三边, ∴ a + b > c, ∴ c 1 + c < a + b 1 + (a + b) = a 1 + a + b + b 1 + a + b < a 1 + a + b 1 + b ,即 c 1 + c < a 1 + a + b 1 + b , 同理可证: a 1 + a < b 1 + b + c 1 + c , b 1 + b < a 1 + a + c 1 + c , ∴ 以 a 1 + a 、 b 1 + b 、 c 1 + c 为边可构成一个三角形. 考案(二)　 第二讲　 学业质量标准检测 1. D　 ∵ a、b 正负不确定,而 a > b⇒a2 > b2 的条件是 a、b 同正;a > b⇒ b a < 1 的条件是 a > 0;a > b⇒lg(a - b) > 0 成立条件是 a > b + 1;因此(A)、(B)、( C) 均不成立; 1 2 < 1,y = ( 1 2 ) x 为 减函数 a > b⇒( 1 2 ) a < ( 1 2 ) b 成立,故选 D. 2. A　 a b - a + m b + m = ab + am - ab - bm b(b + m) = (a - b)m b(b + m) , 由 a < b 知 a - b < 0,b > 0,m > 0. ∴ (a - b)m b(b + m) < 0,∴ a b < a + m b + m , ∴ 0 < a < b,m > 0,∴ 0 < a + m < b + m, ∴ a + m b + m < 1,∴ a b < a + m b + m < 1 成立. 故选 A. 3. B　 ∵ a = lg2 + lg5 = 1,b = ex(x < 0),故 b < 1,∴ a > b. 4. B　 在用分析法证明不等式时,是从求证的不等式出发,逐步探索 使结论成立的充分条件即可,故只需能进行逆向推理即可. 5. D　 3 a - 3 b < 3 a - b ⇔a - b + 3 3 ab2 - 3 3 a2 b < a - b⇔ 3 ab2 < 3 a2 b,∴ 当 ab > 0 时,有3 b < 3 a,即 b < a. 当 ab < 0 时,有3 b > 3 a,即 b > a. 6. A　 P - Q = a 2 b + b 2 a - (a + b) = a 3 + b3 - ab(a + b) ab = (a + b)(a 2 + b2 - 2ab) ab = (a + b)(a - b) 2 ab ∵ a、b 都是正实数,且 a≠b, ∴ (a + b)(a - b) 2 ab > 0,∴ P > Q. 7. B　 利用不等式性质得,当 a > b > 0 时, 1 a < 1 b ,由此可知,C 不恒成立. 当 0 < a < 1,a > b 时,可知 aa < bb,D 不能恒成立. 选取适当的特殊值,若 a = 2,b = 1,可知2a + b a + 2b = 5 4 , a b = 2,由 此可见 A 不恒成立. 由于本题为单选题,仅有一个结论成立, 综上可知排除 A、C、D,故选 B. 8. B　 因为 ab > 0,即 a、b 同号,所以 | a + b | > a - b 成立,2ab≤ | a + b | 成立, b a + a b ≥2 也成立. 由于 a、b 可能相等. 所以 | a + b | < | a | + | b | 错误. 9. B　 选项 C 显然错误. 111 是 3 的倍数,所以 D 错误. 假设数列 中的11…1} n个 是完全平方数,则它是某奇数的完全平方. 设11…1} n个 = (2k + 1)2 (k∈Z),则1…10} n个 = 4k2 + 4k,约掉一个 2 得5…5} n - 1个 = 2k(k + 1),等式左边为奇数,等式右边为偶数,矛盾