考案(五) 本册学业质量标准检测-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-5）

数学 （选修 4 - 5·人教 A 版）　 下面只需证明 1 2 - 1 k + 2 + 1 (k + 2)2 > 1 2 - 1 k + 3 即可. 8. 证明:(1)当 n = 2 时,左边 = 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 = 19 20 > 5 6 ,不 等式成立. (2)假设当 n = k 时(k≥2,k∈N + ), 有 1 k + 1 + 1 k + 2 + … + 1 3k > 5 6 成立, 则当 n = k + 1 时, 1 (k + 1) + 1 + 1 (k + 1) + 2 + … + 1 3k + 1 3k + 1 + 1 3k + 2 + 1 3(k + 1) = 1 k + 1 + 1 k + 2 + … + 1 3k + ( 1 3k + 1 + 1 3k + 2 + 1 3k + 3 - 1 k + 1 ) > 5 6 + ( 1 3k + 1 + 1 3k + 2 + 1 3k + 3 - 1 k + 1 ) > 5 6 + ( 1 3k + 3 + 1 3k + 3 + 1 3k + 3 - 1 k + 1 ) = 5 6 + (3 × 1 3k + 3 - 1 k + 1 ) = 5 6 , 所以当 n = k + 1 时,不等式也成立. 由(1)(2)知,原不等式对一切 n≥2,n∈N + 均成立. B 级　 素养提升 1. D　 令 n = 1,2,得到关于 a、b 的方程组,解得即可. 2. D　 ∵ 当 n = k 时,左端 = 1 + 2 + 3 + … + k2 , 当 n = k + 1 时,左端 = 1 + 2 + 3 + … + k2 + (k2 + 1) + (k2 + 2) + … + (k + 1)2 . 故当 n = k + 1 时,左端应在 n = k 的基础上加上(k2 + 1) + (k2 + 2) + … + (k + 1)2 ,故应选 D. 3. B　 ∵ (an + 1 - an) 2 - 2(an + 1 + an) + 1 = 0, ∴ (a2 - 1) 2 - 2(a2 + 1) + 1 = 0, ∴ a2 = 4,或 a2 = 0(舍去). 同理 a3 = 9,或 a3 = 1(舍去). ∴ 猜想 an = n 2 . 4. M > N 5. 1 + 2 + 22 + 23 + 24 25k + 25k + 1 + 25k + 2 + 25k + 3 + 25k + 4 6. 解:因 S1 = a1 ,得 a1 2 + 1 a1 - 1 = a1 ,解得 a1 = 3 - 1. 由 a2 = S2 - S1 ,得 a2 = a2 2 + 1 a2 - 1 - 3 + 1, 解得 a2 = 5 - 3. 同理可解得 a3 = 7 - 5. 由 a1 ,a2 ,a3 可推测通项公式 an = 2n + 1 - 2n - 1. 用数学归纳法证明: (1)当 n = 1 时,a1 = 2 × 1 + 1 - 2 × 1 - 1 = 3 - 1,通项公 式成立. (2)假设 n = k 时,ak = 2k + 1 - 2k - 1成立. 那么由 ak + 1 = Sk + 1 - Sk = ak + 1 2 + 1 ak + 1 - ak 2 - 1 ak . 将 ak = 2k + 1 - 2k - 1代入上式得 a 2 k + 1 + 2 2k + 1ak + 1 - 2 = 0. 由 an > 0 得 ak + 1 = 2k + 3 - 2k + 1,即当 n = k + 1 时成立. 由 ( 1 ), ( 2 ) 可 得 对 所 有 n ∈ N∗ , an = 2n + 1 - 2n - 1都成立. 考案(五)　 本册学业质量标准检测 1. D　 依题意:“ | x - 5 | + | x + 3 | ” 的几何意义为:点 x 到点 5, - 3的距离之和. 而当 x = - 4 或 6 时,| x - 5 | + | x + 3 | = 10, ∴ 原不等式的解集为 x∈( - ∞ , - 4]∪[6, + ∞ ),故选 D. 2. D　 取 a = 0,b = 1 验证排除 A、B,再取 a = 4,b = 3 时,可排除 C,故选 D. 3. C　 若 x + y > a + b① (x - a)(y - b) > 0②{ , 由②知,x - a 与 y - b 同号;又由式①,得 (x - a) + (y - b) > 0. ∴ x - a > 0,y - b > 0,即 x > a 且 y > b. 故充分性成立. 若 x > a y > b,{ 则 x - a > 0 y - b > 0,{ ∴ x + y >