1.1 平面直角坐标系-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-4）

数学 （选修 4 - 4·人教 A 版）　 详解答案 第一讲　 坐 标 系 第一节　 平面直角坐标系 新知导学 　 　 1. (1)坐标　 方程　 数与形 (2)特征　 方程　 方程　 性质　 关系 (3)几何　 代数　 几何 2. (1)坐标　 代数方法　 几何 (2) x′ = λx(λ > 0), y′ = μy(μ > 0){ 　 坐标伸缩变换　 伸缩 互动探究解疑 　 　 典例试做 1:如图,以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的垂直平分 线为 y 轴建立直角坐标系, 则 A (3,0), B ( - 3,0), C ( - 5, 2 3). ∵ | PB | = | PC | , ∴ 点 P 在线段 BC 的垂直平分线上. ∵ kBC = - 3,线段 BC 的中点 D( - 4, 3), ∴ 直线 PD 的方程为 y - 3 = 1 3 (x + 4). ① 又 | PB | - | PA | = 4, ∴ 点 P 在以 A,B 为焦点的双曲线的右支上, 双曲线方程为 x2 4 - y 2 5 = 1(x≥2). ② 联立①②,解得 P 点坐标为(8,5 3). ∴ kPA = 5 3 8 - 3 = 3. 因此“广州”舰行进的方位角为北偏东 30°. 　 　 跟踪练习 1:以 A 村为原点,直线 BA 为 x 轴,建立如下图所 示的坐标系. 则 B 点 坐 标 为 ( - 1000, 0 ), w 点 坐 标 为 ( - 200 2, 200 2),由题意知管线 m 的斜率为 k = tan30° = 3 3 , ∴ 管线 m 所在的方程为 y = 3 3 (x + 1 000), 化简得 3x - 3y + 1 000 3 = 0,即 x - 3·y + 1 000 = 0. 点 w 到直线 m 的距离为 d = | - 200 6 - 200 2 + 1 000 | 3 + 1 = |500 - 100 2 - 100 6 | = 100(5 - 2 - 6). ∵ 5 - 2 - 6 > 1,∴ d > 100. ∴ 管线 m 不会穿过禁区,故计划不需要修改. 典例试做 2:解法一:如图所示, 以点 A 为坐标原点,边 AB 所在的直线为 x 轴,建立平面直 角坐标系 xAy,则 A(0,0). 设 B(a,0),C(b,c). 由对称性知 D(b - a,c). 所以 AB2 = a2 ,AD2 = (b - a)2 + c2 ,AC2 = b2 + c2 ,BD2 = (b - 2a)2 + c2 . ∵ AC2 + BD2 = 4a2 + 2b2 + 2c2 - 4ab = 2 (2a2 + b2 + c2 - 2ab), 而 AB2 + AD2 = 2a2 + b2 + c2 - 2ab. ∴ AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2 ). 解法二:如图所示, 在▱ABCD 中,AC→ = AB→ + AD→, 两边平方得AC→2 = AB→2 + 2 AB→·AD→ + AD→2 . 同理可得BD→2 = AD→2 - 2 AD→·AB→ + AB→2 . 以上两式相加,得AC→2 + BD→2 = 2(AB→2 + AD→2 ), ∴ | AC→ | 2 + | BD→ | 2 = 2( | AB→ | 2 + | AD→ | 2 ), 故 AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2 ). 跟踪练习 2:以 A 为坐标原点 O,AB 所在直线为 x 轴,建立 平面直角坐标系 xOy, 则 A(0,0),设 B(a,0),C(b,c), 则 D(a + b 2 , c 2 ). 所以 AD2 + BD2 = (a + b) 2 4 + c 2 4 + (a - b) 2 4 + c 2 4 = 1 2 ( a2 + b2 + c2 ). 故 AB2 + AC2 = a2 + b2 + c2 = 2(AD2 + BD2 ). 典例试做 3:设变换为 x′ = λ·x(λ > 0) y′ = μ·y(μ > 0){ ,将其代入 x′ 2 + y′2 = 1,有 λ2 x2 + μ2 y2 = 1. 又 4x2 + 9y2 = 36 可化为 4 36 x2 + 9 36 y2 = 1,即 1 9 x2 + 1 4 y2 = 1. 与 λ2 x2 + μ2 y2 = 1 比较,得 λ2 = 1 9 ,μ2 = 1 4 , ∴ λ = 1 3 ,μ = 1 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋