1.2.2 极坐标与直角坐标的关系-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-4）

现行旧教材·高中新课程学习指导 8. 3　 ∵ 点 P ( 3, 7π 2 ) 经 过 伸 缩 变 换 x′ = 2x y′ = 1 3 y{ 后 的 点 为 Q(6, 7 6 π). 则极坐标系中,Q 到极轴所在直线的距离等于 6· | sin 7π 6 | = 3. 9. 如右图所示, 由题意知 | OA | = | OB | = | OC | = | OD | = 2,∠xOA = π 4 , ∠xOB = 3π 4 , ∠xOC = 5π 4 ,∠xOD = 7π 4 . 故正方形的顶点坐标分别为 A( 2, π 4 ),B( 2,3π 4 ), C( 2,5π 4 ),D( 2,7π 4 ). 10. 如图所示, | OA | = | OA′ | = 6. ∠xOA′ = 2π 3 , ∠xOA = 5π 3 ,即 A 与 A′关于极点 O 对称,由极坐标的定义知 (1)当 ρ > 0, - π < θ≤π 时,A(6, - π 3 ). (2)当 ρ < 0,0≤θ < 2π 时,A( - 6,2π 3 ). (3)当 ρ < 0, - 2π < θ≤0 时,A( - 6, - 4π 3 ). 第 2 课时　 极坐标与直角坐标的关系 新知导学 　 　 (1)极点　 极轴　 长度单位 (2)ρcosθ　 ρsinθ　 x2 + y2 　 y x (x≠0) 互动探究解疑 　 　 典例试做 1:(1) ρ = 3,θ = π 4 ,∴ x = 3cos π 4 = 3 2 2 ,y = 3sin π 4 = 3 2 2 , ∴ 点 A 的直角坐标为(3 2 2 ,3 2 2 ). (2)∵ ρ = 3,θ = 2π 3 ,∴ x = 3cos 2π 3 = - 3 2 ,y = 3 3 2 , ∴ 点 B(3, 2 3 π)的直角坐标为( - 3 2 ,3 3 2 ). (3)∵ ρ = 2,θ = - π 3 , ∴ x =2cos( - π 3 ) =2 × 1 2 =1,y =2 × sin( - π 3 ) = - 3. ∴ 点 C(2, - π 3 )的直角坐标为(1, - 3). (4)∵ ρ = 4,θ = π 2 ,∴ x = 4cos π 2 = 0,y = 4sin π 2 = 4, ∴ 点 D(4, π 2 )的直角坐标为(0,4). (5)∵ ρ = 2,θ = π,∴ x = 2cosπ = - 2,y = 2sinπ = 0, ∴ 点 E(2,π)的直角坐标为( - 2,0). 　 　 跟踪练习 1:(1) 由题意知,x = 5cos 5π 6 = 5 × ( - 3 2 ) = - 5 3 2 , y = 5sin 5π 6 = 5 × 1 2 = 5 2 . 所以 M 点的直角坐标为( - 5 3 2 , 5 2 ). (2)x = 2cos 3π 2 = 2 × 0 = 0,y = 2sin 3π 2 = 2 × ( - 1) = - 2. 所以 N 点的直角坐标为(0, - 2). (3)x = 4cos 5π 4 = 4 × ( - 2 2 ) = - 2 2,y = 4sin 5π 4 = 4 × ( - 2 2 ) = - 2 2. 所以 P 点的直角坐标为( - 2 2, - 2 2). (4)x = 4cos( - π 6 ) = 4 × 3 2 = 2 3,y = 4sin( - π 6 ) = 4 × ( - 1 2 ) = - 2. 所以 Q 点的直角坐标为 Q(2 3, - 2). 典例试做 2:(1) 由题意可知:ρ = 32 + ( 3)2 = 2 3,tanθ = 3 3 ,所以 θ = π 6 . 所以点 A 的极坐标为(2 3, π 6 ). (2)ρ = ( - 2)2 + ( - 2 3)2 = 4,tanθ = - 2 3 - 2 = 3,又由 于 θ 为第三象限角, 故 θ = 4π 3 ,所以 B 点的极坐标为(4,4π 3 ). (3)ρ = 02 + ( - 2)2 = 2,θ 为 3 2 π,C 在 y 轴负半轴上, 所以 C 点的极坐标为(2, 3 2 π). (4)ρ = 32 + 02 = 3,tanθ = 0 3 = 0,故 θ = 0. 所以 D 点的极 坐标为(3,0). 跟踪练习 2:(1)∵ x = 0,y = - 5 3 ,∴ ρ = 02 + ( - 5 3 )2 = 5 3 ,tanθ 不存在,点 B 在 y 轴负半轴上,∴ θ = 3π 2 . ∴ A(0, - 5 3 )的极坐标为( 5 3 ,3π 2 ). (2)∵ x = 3 2 ,y = 0,∴ ρ = ( 3 2 )2 + 02 = 3 2 ,tanθ