1.3 简单曲线的极坐标方程-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-4）

数学 （选修 4 - 4·人教 A 版）　 ∴ 点(2,2)关于 x + y = 0 对称的点的极坐标为(2 2,5π 4 ). 9. ∵ 点 M 的极坐标为(2,5π 3 ), ∴ 点 M 的直角坐标为(2cos 5π 3 ,2sin 5π 3 ), 即为 M(1, - 3). 同理可得点 N 的直角坐标为(2,0),点 P 的直角坐标为(3, 3). ∵ kMN = 3 2 - 1 = 3,kPN = 3 3 - 2 = 3. ∴ kMN = kPN. ∴ M,N,P 三点在同一条直线上. 10. | AB | = 52 + 82 - 2·5·8cos 5π2 - 5π 6( ) = 25 + 64 - 80· 1 2 = 7, | AC | = 52 + 32 - 2·5·3cos 5π2 - 7π 6( ) = 25 + 9 + 15 = 7, | BC | = 64 + 9 - 2·8·3· 1 2 = 64 + 9 - 24 = 7, ∴ △ABC 是等边三角形. 第三节　 简单曲线的极坐标方程 新知导学 　 　 1. f(ρ,θ) = 0 2. ρ = 2acosθ 3. ρ = r 4. θ = π 4 ,ρ∈R 5. ρcosθ = a 6. ρsin(α - θ) = ρ1 sin(α - θ1 ) 7. 极点 互动探究解疑 　 　 典例试做 1:如图,设 M(ρ,θ)为圆上除 O,B 外的任意一点, 连接 OM,MB,则有 | OB | = 4,| OM | = ρ, ∠MOB = | θ - 3π 2 | ,∠BMO = π 2 , 从而△BOM 为直角三角形. 所以有 | OM | = | OB | cos∠MOB, 即 ρ = 4cos(θ - 3π 2 ) = - 4sinθ. 因为点 O(0,0),B(4,3π 2 ) 也适合此方程,故所求圆的极坐 标方程为 ρ = - 4sinθ. 将其化为直角坐标方程为 x2 + y2 + 4y = 0. 　 　 跟踪练习 1:(1)设所求圆上任意一点 M(ρ,θ),结合图形, 得 | OM | = 2,∴ ρ = 2,0≤θ < 2π. 　 　 (2)设所求圆上任意一点 M(ρ,θ),结合图形,在Rt△OAM 中,∠OMA = π 2 , ∠AOM = π - θ,| OA | = 4, ∵ cos∠AOM = | OM | | OA | ,∴ | OM | = | OA | ·cos∠AOM, 即 ρ = 4cos(π - θ), 故 ρ = - 4cosθ 为所求. 典例试做 2:解法一:如图所示,设 M(ρ, θ)为直线上除点 A 以外的任意一点, 则∠xAM = π 4 , ∠OAM = 3π 4 , ∠OMA = π 4 - θ, 在△OAM 中,由正弦定理得 | OM | sin∠OAM = | OA | sin∠OMA , 即 ρ sin 3π 4 = 1 sin( π 4 - θ) , 故 ρsin( π 4 - θ) = 2 2 ,即 ρ(sin π 4 cosθ - cos π 4 sinθ) = 2 2 , 化简得 ρ(cosθ - sinθ) = 1, 经检验点 A(1,0)的坐标适合上述方程, 所以满足条件的直线的极坐标方程为 ρ(cosθ - sinθ) = 1, 其中,0≤θ < π 4 (ρ≥1)和5π 4 < θ < 2π(ρ≥1). 解法二:以极点 O 为直角坐标原点,极轴为 x 轴,建立平面 直角坐标系 xOy,直线的斜率 k = tan π 4 = 1, 直线方程为 y = x - 1,将 y = ρsinθ,x = ρcosθ 代入上式,得 ρsinθ = ρcosθ - 1, 所以 ρ(cosθ - sinθ) = 1,其中,0≤θ < π 4 (ρ≥1) 和5π 4 < θ < 2π(ρ≥1). 跟踪练习 2:如图所示,在 l 上任取一点 P(ρ,θ), 在△AOP 中,∠OPA = α - θ,∠OAP = 180° - (α - θ0 ), 由正弦定理得 ρ0 sin(α - θ) = ρ sin[180° - (α - θ0 )] , 化简有 ρsin(α - θ) = ρ0 sin(α - θ0 ). 典例试做 3:(1)两边同乘以 ρ 得 ρ2 = 2aρcosθ. ∵ ρ2 = x2 + y2 ,ρcosθ = x, ∴ x2 + y2 = 2ax. (2)两边同乘以 ρ 得 ρ2 = 4aρsinθ. ∵ ρ2 = x2 + y2 ,ρsinθ = y, ∴ x2 + y2 = 4ay. (3)两边同乘以 ρ 得 ρ2 = 9(ρcosθ + ρsinθ). 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋