第一讲归纳总结-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-4）

现行旧教材·高中新课程学习指导 tanθ = y x = - 2 - 2 = 1,θ = 5π 4 (在第三象限内), ∴ 柱坐标为 2 2,5π4 ,2( ). 4. D　 ∵ M 点的柱面坐标为 M(3, π 3 ,3),设点 M 的直角坐标为 (x,y,z), ∴ x = 3cos π 3 = 3 2 ,y = 3sin π 3 = 3 3 2 ,z = 3. ∴ M 点的直角坐标为:M( 3 2 ,3 3 2 ,3). 设点 M 的球面坐标系的形式为(r,φ,θ),r 是球面半径,φ 为 向量 OM 在 xOy 面上投影到 x 轴正方向夹角,φ 为向量 OM 与 z 轴正方向夹角, ∴ r = 9 4 + 27 4 + 9 = 3 2,容易知道 θ = 60° = π 3 ,同时结合 点 M 的直角坐标为( 3 2 ,3 3 2 ,3). 可知 cosφ = z r = 3 3 2 = 2 2 , ∴ φ = π 4 ,∴ 球面坐标为(3 2, π 4 , π 3 ). 故选 D. 5. 5 2, π4 ,5( )　 ρ = 52 + 52 = 5 2,tanθ = 55 = 1. θ = π 4 (θ 在第一象限内),∴ 柱坐标为 5 2, π4 ,5( ). 6. (2,2 3,2)　 x =4·cos π 3 =2 y =4·sin π 3 =2 3 z =2 ì î í ï ïï ï ï ,∴ 直角坐标为(2,2 3,2). 7. (R,3π 4 ,5π 3 ) 8. 根据坐标变换公式 x = rsinφcosθ y = rsinφsinθ z = r·cosφ { ,得 x = 4sin 3π 4 cos 7π 6 = 4· 2 2 · - 3 2( ) = - 6 y = 4sin 3π 4 sin 7π 6 = 4· 2 2 · - 12( ) = - 2 z = 4cos 3π 4 = 4· - 2 2( ) = - 2 2 ì î í ï ï ï ï ï ï , ∴ 点 P 的直角坐标为( - 6, - 2, - 2 2). 9. 由长方体的两个顶点坐标为 A1 (4,0,5),C1 (6, π 2 ,5),可知 OA = 4, OC = 6, OO1 = 5, 则 长 方 体 的 对 角 线 长 为 42 + 62 + 52 = 77,那么长方体外接球的半径 R = 77 2 ,故 外接球的体积为 4 3 πR3 = 4π 3 × ( 77 2 )3 = 77 77π 6 . 本讲归纳总结 　 　 典例试做 1:y = tanx 的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 1 2 ,得到 y = tan2x. 再将其纵坐标伸长为原来的 3 倍,横坐标不 变,得到曲线 y = 3tan2x. 设变换为 x′ = λx(λ > 0) y′ = μy(μ > 0){ , 则 μy = 3tan2λx, 即 y = 3 μ tan2λx. 与 y = tanx 比较,则有 μ = 3,λ = 1 2 . 所以 x′ = 1 2 x y′ = 3y { . 　 　 跟踪练习 1:将 x′ = 4x y′ = 3y{ 代入(x′ - 3) 2 + (y′ + 5)2 = 144 中, 得(4x - 3)2 + (3y + 5)2 = 144, 16(x - 3 4 )2 + 9(y + 5 3 )2 = 144, 即 (x - 3 4 )2 9 + (y - 5 3 )2 16 = 1. 故该曲线是以( 3 4 , 5 3 )为中心,长轴长为 8,短轴长为 6 的 椭圆. 典例试做 2:如图,令 A(ρ,θ), 在△ABC 内,则∠B = θ,∠A = θ 2 , 又 | BC | = 10, | AB | = ρ. 于是由正弦定 理,得 ρ sin(π - 3θ 2 ) = 10 sin θ 2 ,化简,得 A 点轨 迹的极坐标方程为 ρ = 10 + 20cosθ. 跟踪练习 2:设 P(ρ′,φ),则 φ = θ, ∵ | OM | · | OP | = 12,∴ ρ′ρ = 12. ∴ ρ = 12 ρ′ . ∴ 12 ρ′ cosθ = 4. ∴ ρ′ = 3cosθ. ∴ 点 P 的轨迹是以( 3 2 ,0)为圆心, 3 2 为半径的圆. 典例试做 3:将 x = ρcosθ,y = ρsinθ 代入 x2 + y2 - 2ax = 0 得 ρ2 - 2aρcosθ = 0, 即 ρ = 2acosθ. 跟踪练习 3:(1)∵ x2 - y2 = 2y, ∴ (ρcosθ)2 - (ρsinθ)2 = 2ρsinθ, 即 ρcos2θ = 2sinθ. (2)∵ 2xy = 1,∴ 2ρcosθρsinθ