2.3 直线的参数方程-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-4）

现行旧教材·高中新课程学习指导 所以 x 3 = tanθ　 　 ① y = secθ　 　 ② { ②2 - ①2 ,得 y2 - x 2 3 = 1,其渐近线方程为 y = ± 3 3 x,故两条 渐近线所成的锐角的度数是 60°. 11. 椭 圆 x 2 25 + y 2 16 = 1 的 焦 点 坐 标 为 ( 25 - 16, 0 ), ( - 25 - 16,0),即为(3,0),( - 3,0), 则双曲线的方程可设为 x2 a2 - y 2 b2 = 1(a,b > 0), 直线 x = 2t y = 4t{ (t 为参数), 即为直线 y = 2 2x,所以 b a = 2 2. 由题意得,c = 3,a2 + b2 = 32 ,所以 a = 1,b = 2 2. 故双曲线的标准方程为 x2 - y 2 8 = 1. 因为 sec2 θ - tan2 θ = 1, 所以双曲线的参数方程为 x = secθ y = 2 2tanθ{ (θ 为参数). 12. 把双曲线方程化为参数方程 x = secθ y = tanθ{ ,(0≤θ < 2π,且 θ≠ π 2 ,θ≠3π 2 ). 设双曲线上动点 M(secθ,tanθ), 则 | M0 M | 2 = sec2 θ + (tanθ - 2)2 = (tan2 θ + 1) + (tan2 θ - 4tanθ + 4) = 2tan2 θ - 4tanθ + 5 = 2(tanθ - 1)2 + 3, 当 tanθ - 1 = 0 即 θ = π 4 时, | M0 M | 2 取最小值 3,此时有 | M0 M | = 3,即 M0 点到双曲线的最小距离为 3. B 级　 素养提升 1. C　 抛物线 x = 4t2 y = 4t{ (t 为参数),化为普通方程为 y 2 = 4x,准线 为 x = - 1, ∴ | PF | 等于点 P(3,m)到准线 x = - 1 的距离,即为 4. 2. D　 令 M(2pt21 ,2pt1 ),N(2pt 2 2 ,2pt2 ). | MN | = (2pt21 - 2pt 2 2 ) 2 + (2pt1 - 2pt2 ) 2 = 4p2 (t1 - t2 ) 2 (t1 + t2 ) 2 + 4p2 (t1 - t2 ) 2 . 又∵ t1 + t2 = 0,∴ 上式变为 |2p(t1 - t2 ) | . 3. A　 设 M1 (2pt1 ,2pt1 2 ),M2 (2pt2 ,2pt2 2 ), ∴ kM1M2 = 2pt2 2 - 2pt1 2 2pt2 - 2pt1 = 2p(t2 + t1 )(t2 - t1 ) 2p(t2 - t1 ) (t1 ≠t2 ) = t2 + t1 . 4. D　 ∵ x = t,y = 2 1 - t,∴ 0≤t≤1, ∴ 0≤x≤1,0≤y≤2,故选 D. 5. A　 由双曲线为 x = 2secθ y = tanθ{ (θ 为参数),消去参数 θ 可得: x2 4 - y2 = 1. 可得 a = 2,b = 1,∴ c = a2 + b2 = 5. 设 | PF1 | = m,| PF2 | = n,m > n, 则 m - n = 2a = 4 m2 + n2 = 4c2 = 20{ ,可得 mn = 2. ∴ △F1 PF2 的面积 S = 1 2 mn = 1. 故选 A. 6. 5　 因为实数 x,y 满足 3x2 + 4y2 = 12, 所以设 x = 2cosα,y = 3sinα, 则 2x + 3y = 4cosα + 3sinα = 5sin(α + φ), 其中 sinφ = 4 5 ,cosφ = 3 5 . 当 sin(α + φ) = 1 时,2x + 3y 取最大值 5. 7. 2 3　 由 x =2cos π 3 =1 y =4sin π 3 =2 3 ì î í ïï ïï ,得点 M 的坐标为(1,2 3). 直线 OM 的斜率 k = 2 3 1 = 2 3. 8. (1,2 5 5 )　 本题主要考查椭圆的参数方程与抛物线的参数方 程,利用联立解方程组. 由 x = 5cosθ y = sinθ{ (0≤θ < π) 消去参数得 x2 5 + y2 = 1( - 5 < x≤ 5,y≥0),由 x = 5 4 t2 y = t { 消去参数得 y2 = 45 x,联立两曲线方程 得 x2 5 + y2 = 1 y2 = 4 5 x ì î í ïï ïï ,消去 y 得,x2 + 4x - 5 = 0,解得 x1 = 1,x2 = - 5 (舍)此时 y = 2 5 5 . 9. 设 Q(secθ,tanθ), Rt△O1