第二讲归纳总结-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-4）

数学 （选修 4 - 4·人教 A 版）　 (3) | PM | = 1 2 | t1 + t2 | = 15 7 . B 级　 素养提升 1. C　 斜率 k = tan α + 3π2( ) = tan π 2 + α( ), ∴ 倾斜角为 π 2 + α. 2. C　 直线方程为 y - 1 = tan75°x,直线过点 P(0,1), 曲线方程为 (x - 1)2 9 + y 2 4 = 1,显然 P 在椭圆内, ∴ 直线与曲线有两个交点. 3. D　 圆 C2 :ρ = 2 化为直角坐标方程为:x 2 + y2 = 4. 把直线 C1: x = -1 + t y = -1 + at{ ,化为普通方程为:y +1 = a(x +1), 由于直线 C1 过定点 P( - 1, - 1)在圆的内部, 因此当 OP⊥AB 时,| AB | 取得最小值. ∴ kAB·kOP = - 1,∴ a·1 = - 1,解得 a = - 1. 故选 D. 4. C　 把直线 l: x = 1 + tcos(α - π 2 ) y = - 2 + tsin(α - π 2 ) ì î í ïï ïï (其中 t 为参数,0 < α < π 2 )的参数方程化为普通方程是 y + 2 = tan(α - π 2 )(x - 1),其中 0 < α < π 2 ; ∴ 直线的斜率 k = tan(α - π 2 ) < 0, ∴ 倾斜角为 π + (α - π 2 ) = π 2 + α. 故选 C. 5. D　 在 l 上任取一点(0, - 4)得 l 的参数方程为 x = 1 17 t y = 4 17 t - 4 ì î í ï ï ïï ,将这一参数方程代入 l1 和 l2 即可求出两交点 的参数值分别为 t1 = 6 17 7 和 t2 = 3 17 2 , 根据直线参数方程的几何意义,两交点间的距离为: | t1 - t2 | = 6 17 7 - 3 17 2 = 9 17 14 , 即两交点间距离为 9 17 14 . 6. ρsin(θ - π 4 ) = - 2 2 本题考查极坐标及圆的参数方程. 曲线 C 的普通方程为(x - 2)2 + (y - 1)2 = 1,设直线 l 的方 程为 y = x + b,因为弦长 | AB | = 2,所以圆心(2,1) 到直线l 的 距离 d = 0,所以圆心在直线 l 上,故 y = x - 1⇒ρsinθ = ρcosθ - 1⇒ρsin(θ - π 4 ) = - 2 2 , 故填 ρsin(θ - π 4 ) = - 2 2 . 7. π 6 或 5π 6 　 直线:y = x·tanα,圆:(x - 4)2 + y2 = 4,如图,sinα = 2 4 = 1 2 ,α = π 6 或 5π 6 . 8. (x + 1)2 + y2 = 2　 ∵ x = t,y = 1 + t,∴ x - y + 1 = 0, 令 y = 0,得 x = - 1, ∴ 直线 x = t y = 1 + t{ (t 为参数) 与 x 轴的交点为( - 1,0), ∵ 直线与圆相切, ∴ 圆心到直线的距离等于半径, 即 r = | - 1 + 0 + 3 | 2 = 2, 故圆 C 的方程为(x + 1)2 + y2 = 2. 9. 由 x = - 2 + cosθ y = sinθ{ 消去参数 θ 得曲线的标准方程为(x + 2) 2 + y2 = 1,圆心为( - 2,0),半径为 1. 设 y x = k,则直线 y = kx,即 kx - y = 0, 当 直 线 与 圆 相 切 时, 圆 心 到 直 线 的 距 离 d = | - 2k | k2 + 1 = 1,即 |2k | = k2 + 1,平方得 4k2 = k2 + 1,k2 = 1 3 , 解得 k = ± 3 3 ,由图象知 k 的取值范围是 - 3 3 ≤k≤ 3 3 , 即 y x 的取值范围是[ - 3 3 , 3 3 ]. 10. (1)消去参数 t 得 l1 的普通方程 l1 :y = k(x - 2); 消去参数 m 得 l2 的普通方程 l2 :y = 1 k (x + 2). 设 P(x,y),由题设得 y = k(x - 2) y = 1 k (x + 2){ , 消去 k 得 x2 - y2 = 4(y≠0), 所以 C 的普通方程为 x2 - y2 = 4(y≠0). (2)C 的极坐标方程为 ρ2 (cos2 θ - sin2 θ) = 4(0 < θ < 2π,θ≠ π), 联立 ρ2 (cos2 θ - sin2 θ) = 4, ρ(cosθ + sinθ) - 2 = 0{ 得 cos