考案(一) 第一讲学业质量标准检测-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-4）

数学 （选修 4 - 4·人教 A 版）　 ∴ x2 + y2 = x + 2y,即 x2 + y2 - x - 2y = 0. (2)∵ ρ = 1 + sinθ, ∴ ρ2 = ρ + ρsinθ. ∴ x2 + y2 = x2 + y2 + y, 即(x2 + y2 - y)2 = x2 + y2 . (3)∵ ρ3 sinθcos2θ = ρ2 cos2θ - ρsinθ + 1. ∴ ρsinθ(ρ2cos2θ - ρ2sin2θ) = ρ2cos2θ - ρ2sin2θ - ρsinθ +1. ∴ y(x2 - y2 ) = x2 - y2 - y + 1, (x2 - y2 )(y - 1) + y - 1 = 0, (y - 1)(x2 - y2 + 1) = 0. ∴ y - 1 = 0 或 x2 - y2 + 1 = 0. 考案(一)　 第一讲　 学业质量标准检测 1. A　 设(x,y)经过伸缩变换变为(x′,y′), ∴ x′ = 2x y′ = 1 3 y{ ,则 x = 1 2 x′ y = 3y′ { , 代入 F(x,y) = 0,得 F( 1 2 x′,3y′) = 0. 2. B　 设所求的伸缩变换为 x′ = λx(λ > 0) y′ = μy(μ > 0){ ,则 λ = x′ x = 3 2 μ = y′ y = 2 3 ì î í ïï ïï , 所以所求的伸缩变换为 x′ = 3 2 x y′ = 2 3 y ì î í ïï ïï . 3. C　 如图所示,在△OPM 中 2 sinθ = ρ sin π - π3( ) , ∴ ρsinθ = 3. 4. B　 本题主要考查了圆的极坐标方程及普通方程与极坐标方 程的互化,由 ρ = - 2sinθ 得:ρ2 = - 2ρsinθ, ∴ x2 + y2 = - 2y,即 x2 + ( y + 1)2 = 1,∴ 圆心直角坐标为 (0, - 1),极坐标为(1, - π 2 ),选 B. 5. A　 ρ = ( - 1)2 + ( 3)2 = 2,tanθ = - 3,θ∈( π 2 ,π), ∴ θ = 2π 3 . ∴ 点 P 的极坐标为(2,2π 3 ). 故选 A. 6. B　 在极坐标系中,圆心坐标 ρ = 1,θ = 0,半径 r = 1. 故左切线 为 θ = π 2 ,右切线满足 cosθ = 2 ρ ⇒ρcosθ = 2. 即切线方程为 θ = π 2 (ρ∈R)和 ρcosθ = 2. 7. C　 A、B 两点的极坐标分别为( 3,2π 3 )、( 3, π 3 ), 化为直角坐标为( - 3 2 , 3 2 )、( 3 2 , 3 2 ), 故 | AB | = ( 3 2 + 3 2 )2 + ( 3 2 - 3 2 )2 = 3, 故选 C. 8. B　 如图所示,ρ·cosθ = 2·cos π 3 , ∴ ρcosθ = 1. 9. A　 原式变为 ρ = sinθ + 3cosθ, 两边同乘以 ρ 得 ρ2 = ρsinθ + 3ρcosθ. ∵ ρ2 = x2 + y2 ,ρsinθ = y,ρcosθ = x, ∴ x2 + y2 - 3x - y = 0, 即 x - 3 2( ) 2 + y - 12( ) 2 = 1. 10. B　 设点 M 的直角坐标为(x,y,z), ∵ 点 M 的球坐标为(1, π 3 , π 6 ), ∴ x = sin π 3 cos π 6 = 3 4 , y = sin π 3 sin π 6 = 3 4 ,z = cos π 3 = 1 2 . 故点 M 的直角坐标为( 3 4 , 3 4 , 1 2 ). 11. A　 如图所示,面积为 1 2 α × R·R = 1 2 · π 3 ·64 = 32π 3 . 12. A　 点 M( - 2, - π 6 )的直角坐标为( - 3,1),直线 θ = π 2 的 直角坐标方程为 x = 0, ∴ N( - 3,1)关于 x = 0 的对称点为( 3,1),又点( 3,1) 对 应的极坐标为(2, π 6 ),故选 A. 13. x2 + (y - 1)2 = 1　 曲线 C 的极坐标方程为 ρ = 2sinθ,即 ρ2 = 2ρsinθ,它的直角坐标方程为:x2 + y2 = 2y,即 x2 + ( y - 1)2 = 1. 故答案为 x2 + (y - 1)2 = 1. 14. 1　 点 P(2, π 3 )化为 P(1, 3). 直线 ρ(cosθ + 3sinθ) = 6 化为 x + 3y - 6 = 0. ∴ 点 P 到直线的距离 d = |1 + 3 - 6 | 1 + ( 3)2 = 1