考案(二) 第二讲学业质量标准检测-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-4）

数学 （选修 4 - 4·人教 A 版）　 即 0 < p < 2 3 为所求. 　 　 典例试做 5:(1)两方程联立,消去 y,得 x2 + x + 2 = 0,∵ Δ = 1 - 4 × 2 = - 7 < 0, ∴ 两曲线无交点. (2)设直线 l: x = a + tcosα y = tsinα{ (t 为参数),代入 y 2 = x + 7. 得 t2 sin2 α - tcosα - a - 7 = 0. 则 Δ1 = cos 2 α + 4(a + 7)sin2 α > 0, ① 且 t1 + t2 = cosα sin2 α . 将 l 的方程代入 x2 + y2 = 5,得 t2 + 2atcosα + a2 - 5 = 0. Δ2 = 4a 2 cos2 α - 4(a2 - 5) > 0, ② 且 t′1 + t′2 = - 2acosα,由 | AB | = | CD | , ∴ AD 与 BC 的中点必重合,∴ t1 + t2 = t′1 + t′2 . 即 cosα sin2 α = - 2acosα⇒sin2 α = - 1 2a (∵ cosα≠0). ③ 将③分别代入①和②,得 1 + 1 2a - 4 2a (a + 7) > 0 4a2 1 + 12a( ) - 4(a 2 - 5) > 0 ì î í ïï ïï ⇒ - 27 2 < a < 0 a > - 10 { . 又由③ - 1 2a < 1⇒a < - 1 2 , ∴ - 10 < a < - 1 2 . 跟踪练习 5:(1) 设(x1 ,y1 ) 为圆上的点,经变换为 C 上点 (x,y),依题意,得 x = x1 y = 2y1 { ,由 x21 + y21 = 1 得 x2 + ( y2 )2 = 1,∴ 即 曲线 C 的方程为 x2 + y 2 4 = 1, 故 C 的参数方程为 x = cost y = 2sint{ (t 为参数). (2)由 x2 + y 2 4 = 1 2x + y = 2 { ,解得 x = 1y = 0{ 或 x = 0 y = 2{ . 不妨设 P1 (1,0),P2 (0,2),则 P1 P2 中点为( 1 2 ,1),所求直 线斜率为 k = 1 2 ,于是所求直线方程为 y - 1 = 1 2 (x - 1 2 ). 化为极坐标方程,得 2ρcosθ - 4ρsinθ = - 3,即 ρ = 3 4sinθ - 2cosθ . 考案(二)　 第二讲　 学业质量标准检测 1. C　 由题意知 x = 3cosθ y = 3sinθ{ , ∴ x2 + y2 = 9,将(1,5),( - 3, - 1),(5,0),( - 2,2) 代入 x2 + y2 知 1 + 25 > 9,9 + 1 > 9,25 + 0 > 9,4 + 4 < 9, ∴ 在曲线外的个数为 3 个. 2. D　 令 t′ = - t,直线的参数方程可化为 x = 3 + t′cos160° y = t′sin160°{ (t′为参数). 故直线的倾斜角为 160°. 3. A　 把直线 x = 3t y = 1 - 4t{ ( t 为参数) 与圆 x = 3cosθ y = b + 3sinθ{ ( θ 为参 数)的参数方程分别化为普通方程得: 直线:4x + 3y - 3 = 0,圆:x2 + (y - b)2 = 9, ∵ 此直线与该圆相切,∴ |0 + 3b - 3 | 42 + 32 = 3,解得 b = - 4,或 6. 故选 A. 4. A　 由 ρ = cosθ 得 ρ2 = ρcosθ,所以 x2 + y2 = x,即(x - 1 2 )2 + y2 = 1 4 ,它表示以 ( 1 2 ,0) 为圆心,以 1 2 为半径的圆. 由 x = - 1 - t得 t = - 1 - x, 所以 y = 2 + 3t = 2 + 3( - 1 - x) = - 3x - 1,表示直线. 5. D　 将参数方程进行消参,则有 t = 1 x ,把 t = 1 x 代入 y = 1 t t2 - 1中,得当 x > 0 时,x2 + y2 = 1,此时 y≥0;当 x < 0 时, x2 + y2 = 1,此时 y≤0. 对照选项,可知 D 正确. 6. C　 由题意得, x = sin2 θ y = cosθ{ ,消去参数 θ 得 y 2 + x = 1, A、把点(2,1)代入 y2 + x = 1 不成立,A 不正确; B、把点( - 3, - 2)代入 y2 + x = 1 不成立,B 不正确; C、把点( 3 4 , - 1 2 )代入 y2 + x = 1 成立,C 正确; D、把点(1,1