考案(三) 综合学业质量标准检测(一)-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-4）

数学 （选修 4 - 4·人教 A 版）　 21. (1)曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 4 + y 2 16 = 1. 当 cosα≠0 时,l 的直角坐标方程为 y = tanα·x + 2 - tanα, 当 cosα = 0 时,l 的直角坐标方程为 x = 1. (2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程,整理得关于 t 的方程 (1 + 3cos2 α)t2 + 4(2cosα + sinα)t - 8 = 0. ① 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2) 在 C 内,所以① 有两个解,设为 t1 ,t2 ,则 t1 + t2 = 0. 又由①得 t1 + t2 = - 4(2cosα + sinα) 1 + 3cos2 α ,故 2cosα + sinα = 0,于 是直线 l 的斜率 k = tanα = - 2. 22. (1)☉O 的直角坐标方程为 x2 + y2 = 1. 当 α = π 2 时,l 与☉O 交于两点. 当 α≠ π 2 时,记 tanα = k,则 l 的方程为 y = kx - 2. l 与☉O 交于两点当且仅当 2 1 + k2 < 1,解得 k < - 1 或 k > 1,即 α ∈ π4 , π 2( )或 α∈ π 2 ,3π 4( ). 综上,α 的取值范围是 π4 ,3π 4( ). (2)l 的参数方程为 x = tcosα y = - 2 + tsinα{ ( t 为 参 数, π 4 < α < 3π 4 ). 设 A,B,P 对应的参数分别为 tA,tB,tP,则 tP = tA + tB 2 ,且 tA,tB 满足 t2 - 2 2tsinα + 1 = 0. 于是 tA + tB = 2 2sinα,tP = 2sinα. 又点 P 的坐标(x,y)满足 x = tPcosα, y = - 2 + tPsinα. { 所以点 P 的轨迹的参数方程是 x = 2 2 sin2α y = - 2 2 - 2 2 cos2α ì î í ï ï ïï (α 为参 数, π 4 < α < 3π 4 ). 考案(三)　 综合学业质量标准检测(一) 1. D　 解法一:∵ y - 2 x - 1 = - 3t 2t = - 3 2 ,∴ k = - 3 2 . 解法二:将参数方程 x = 1 + 2t y = 2 - 3t{ 化为普通方程为 3x + 2y - 7 = 0,∴ k = - 3 2 . 2. B　 将 ρ = sinθ + cosθ 两边同乘以 ρ 得 ρ2 = ρsinθ + ρcosθ, ∴ x2 + y2 - x - y = 0,即 x - 12( ) 2 + y - 12( ) 2 = 1 2 . ∴ 曲线是圆. 3. B　 由已知得 cosθ = x + 1 sinθ = y - 2{ ,消去参数 θ 得(x + 1) 2 + (y - 2)2 = 1. 所以其对称中心为( - 1,2). 显然该点在直线 y = - 2x 上. 故选 B. 4. B　 把 ρcosθ = 1 2 化为直角坐标方程,得 x = 1 2 . 又圆 ρ = cosθ 的圆心坐标为( 1 2 ,0),半径为 1 2 ,故选项 B 正确. 5. C　 由直线的参数方程知直线 l 的方向向量为(2, - 1),也可 以是( - 2,1). 6. D　 点 A - 2, - π2( )即为 A 2, π 2( ),从而∠AOB = π 4 ,且 | OA | = 2 | OB | ,则△ABO 为等腰直角三角形. 7. C　 由 x = 3tanθ y = secθ{ ⇒y 2 - x 2 3 = 1, 两条渐近线的方程是 y = ± 3 3 x,所以两条渐近线所夹的锐角 是 60°. 8. C　 借助直角坐标和球坐标变换公式求得. 9. C　 圆(x - 1)2 + (y - 1)2 = 1,圆心(1,1)到直线 3x + 4y + 8 = 0 距离 d = 3,3 - 1 = 2,应选 C. 10. D　 直线普通方程为:x - 3y - 2a = 0,曲线 ρ = 2acosθ 化为 (x - a)2 + y2 = a2 ,圆心在(a,0)半径为 a 的圆(a,0) 到直线 之距 d = | a - 2a | 2 = a 2 , 弦 长 = 2 a2 - ( a 2 )2 = 3 a, 故 选 D. 11. C　 把 x = 3 + 3cosθ y = 1 + 3sinθ{ 代入 y = 3 3 x + 2得 sin(θ - π 6 ) = 2 2 , ∴ θ - π 6 = π 4 或 3π 4 ,θ = 5π 12 或 11π 12 ,∴ 倾