考案(四) 综合学业质量标准检测(二)-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修4-4）

现行旧教材·高中新课程学习指导 ρcosθ - 2 = 2cosα, ρsinθ = 2sinα,消去 α 得, ρ = 4cosθ, 故答案为 ρ = 4cosθ. 16. 5 2 2 　 直线 l 的极坐标方程为 2ρsin(θ - π 4 ) = 2,对应的直 角坐标方程为:y - x = 1, 点 A 的极坐标为 A(2 2,7π 4 ),它的直角坐标为(2, - 2). 点 A 到直线 l 的距离为: |2 + 2 + 1 | 2 = 5 2 2 . 故答案为 5 2 2 . 17. 把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程,得 x + 3y - 4 = 0,过极点且与 l 垂直的直线方程为 y = 3x. 由 x + 3y - 4 = 0 y = 3x{ ,得射影的直角坐标为(1, 3), 将其化成极坐标为(2, π 3 ). 故极点在直线 l 上的射影的极坐标为(2, π 3 ). 18. (1)ρ =2cosθ 等价于 ρ2 = 2ρcosθ ①. 将ρ2 = x2 + y2,ρcosθ = x 代 入①,即得曲线 C 的直角坐标方程为 x2 + y2 -2x =0. 　 ② (2)将 x = 5 + 3 2 t y = 3 + 1 2 t ì î í ï ï ïï 代入②,得 t2 + 5 3t + 18 = 0. 设这个方 程的两个实数根分别为 t1 ,t2 ,则由参数 t 的几何意义即知, | MA | · | MB | = | t1 t2 | = 18. 19. (1)由参数方程 x = 2cosθ y = 2sinθ + 2{ 消去参数 θ 得 x 2 + (y - 2)2 = 4. 由 x = ρcosθ, y = ρsinθ 代 入 上 式 得 ρ2 cos2 θ + ρ2 sin2 θ - 4ρsinθ = 0,即 ρ = 4sinθ. (2)直线 l1 :θ = π 6 (ρ∈R)与曲线 C 的交点为 O、M, ∴ ρM = | OM | = 4sin π 6 = 2. 又直线 l2 :θ = 2π 3 (ρ∈R)与曲线 C 的交点为 O、N, ∴ ρN = | ON | = 4sin 2π 3 = 2 3. 且∠MON = π 2 , ∴ S△OMN = 1 2 | OM | · | ON | = 1 2 × 2 × 2 3 = 2 3. 20. (1)由题设可得,弧AB ( ,BC　 ( ,CD ( 所在圆的极坐标方程分别为 ρ = 2cosθ,ρ = 2sinθ,ρ = - 2cosθ, 所以 M1 的极坐标方程为 ρ = 2cosθ 0≤ θ ≤ π 4( ), M2 的极坐标方程为 ρ = 2sinθ π 4 ≤ θ ≤3π 4( ), M3 的极坐标方程为 ρ = - 2cosθ 3π 4 ≤ θ ≤π( ). (2)解:设 P(ρ,θ),由题设及(1)知 若 0≤ θ ≤ π 4 ,则 2cosθ = 3,解得 θ = π 6 ; 若 π 4 ≤ θ ≤3π 4 ,则 2sinθ = 3,解得 θ = π 3 或 θ = 2π 3 ; 若 3π 4 ≤ θ ≤π,则 - 2cosθ = 3,解得 θ = 5π 6 . 综 上, P 的 极 坐 标 为 3, π6( ) 或 3, π 3( ) 或 3,2π 3( )或 3, 5π 6( ). 21. (1)∵ ρ = 2 5sinθ, ∴ ρ2 = 2 5ρsinθ, 又∵ x = ρcosθ,y = ρsinθ, ∴ ρ2 = x2 + y2 ,∴ x2 + y2 = 2 5y, ∴ 圆 C 的直角坐标方程为 x2 + y2 - 2 5y = 0. (2)直线 l 的参数方程可化为 x = 3 - 2 2 t y = 5 + 2 2 t ì î í ï ï ïï ,代入圆 C 的直角 坐标方程,得 (3 - 2 2 t)2 + ( 5 + 2 2 t)2 - 2 5( 5 + 2 2 t) = 0, 整理得 t2 - 3 2t + 4 = 0, ∴ t1 t2 = 4. ∴ | PA | · | PB | = | t1 | · | t2 | = | t1 t2 | = 4. 22. 本小题主要考查直线与圆的参数方程,点到直线的距离,一 元二次方程,判别式等基础知识,考查运算能力,曲线与方程 的关系的解析几何的基本思想. (1)C1 是圆,C2 是直线. C1 的普通方程为 x 2 + y2 = 1,圆心 C1 (0,0),半径 r = 1. C2 的普通方程为 x - y + 2 = 0. 因为圆心 C1 到直线 x - y + 2 = 0 的距离为 1,所以 C2 与 C1 只有一个公共点. (2)压缩后的参数方程分别为