2.2 函数的定义域、值域（正文）-2021高考理科数学【衡中学案】1轮总复习（全国版）

４. Ｄ　 解法一:依题意可知 ａ≥０ꎬ ａ２ － ２ａ ＋ ( － ａ)２ ＋ ２( － ａ)≤０{ 或 ａ < ０ꎬ ( － ａ)２ － ２( － ａ) ＋ ａ２ ＋ ２ａ≤０ꎬ{ 解 得 ａ ∈ [ － ２ꎬ２]. 解法二:显然 ｆ( － ｘ) ＝ ｆ(ｘ)ꎬ即 ｆ(ｘ)为偶函数. ∴ ｆ( － ａ) ＋ ｆ(ａ) ≤ ０ 即 ｆ ( ａ) ≤ ０ꎬ 依 题 意 ａ≥０ ａ２ － ２ａ≤０{ 或 ａ < ０ ａ２ ＋ ２ａ≤０{ ꎬ解得ａ∈[ － ２ꎬ２]. ５. ①③　 对于①ꎬｆ( １ ｘ ) ＝ １ ｘ － ｘ ＝ － ｆ(ｘ)ꎻ对于 ②ꎬｆ( １ ｘ ) ＝ １ ｘ ＋ ｘ ＝ ｆ ( ｘ)ꎬ 不 满ꎻ 对 于 ③ꎬ ｆ( １ ｘ ) ＝ － ｘ　 (０ < ｘ < １) ０ (ｘ ＝ １) １ ｘ (ｘ > １){ ＝ － ｆ ( ｘ )ꎬ 故 填 ①③. 第二讲　 函数的定义域、值域 知识梳理 知识点一 不等于 ０　 大于或等于 ０　 Ｒ　 { ｘ ｜ ｘ≠０} 　 Ｒ　 (０ꎬ ＋ ∞ ) 知识点二 Ｒ　 {ｙ ｜ ｙ≥４ａｃ － ｂ ２ ４ａ }　 {ｙ ｜ ｙ≤４ａｃ － ｂ ２ ４ａ } {ｙ ｜ ｙ≠０}　 (０ꎬ ＋ ∞ )　 Ｒ 重要结论 ２. 并集 双基自测 １. (１) × 　 (２) × 　 (３)√　 (４) √　 (５) × 　 × 　 × 　 √ [解析]　 (４) ｙ ＝ ｌｏｇ２ (ｘ ２ ＋ ｘ ＋ ａ) 值域为 Ｒ 应 满足 Δ≥０ꎬ即 １ － ４ａ≥０ꎬ∴ ａ≤ １ ４ . ２. Ｃ　 使函数有意义满足 ２ ｘ － １≥０ ｘ － ２≠０{ ꎬ解得 ｘ≥０ 且 ｘ≠２ꎬ故选 Ｃ. ３. Ｂ ４. [６ꎬ１３ ２ ]　 当 ｘ ＝ ３ 时取得最小值 ６ꎬ当 ｘ ＝ ２ 取 得最大值 １３ ２ ꎬ值域为[６ꎬ１３ ２ ]. ５. [２ꎬ ＋ ∞ )　 要使函数 ｆ(ｘ) 有意义ꎬ则 ｌｏｇ２ ｘ － １≥０ꎬ即 ｘ≥２. 则函数 ｆ(ｘ)的定义域是[２ꎬ ＋ ∞). ６. ２ 　 解 法 一: ( 分 离 常 数 法) ｆ ( ｘ) ＝ ｘ ｘ － １ ＝ ｘ － １ ＋ １ ｘ － １ ＝ １ ＋ １ ｘ － １ ꎬ∴ ｘ≥２ꎬ∴ ｘ － １ ≥１ꎬ０ < １ ｘ － １ ≤１ꎬ∴ １ ＋ １ ｘ － １ ∈(１ꎬ２]ꎬ故当 ｘ ＝ ２ 时ꎬ函 数 ｆ(ｘ) ＝ ｘ ｘ － １ 取得最大值 ２. 解法二:(反解法)令 ｙ ＝ ｘ ｘ － １ ꎬ∴ ｘｙ － ｙ ＝ ｘꎬ ∴ ｘ ＝ ｙ ｙ － １ . ∵ ｘ≥２ꎬ∴ ｙ ｙ － １ ≥２ꎬ∴ ｙ ｙ － １ － ２ ＝ ２ － ｙ ｙ － １ ≥０ꎬ解得 １ < ｙ≤２ꎬ故函数ｆ(ｘ) 的最大值 为 ２. 解法三:(导数法) ∵ ｆ( ｘ) ＝ ｘ ｘ － １ ꎬ∴ ｆ ′( ｘ) ＝ ｘ － １ － ｘ (ｘ － １)２ ＝ － １ (ｘ － １)２ < ０ꎬ ∴ 函 数 ｆ ( ｘ) 在 [２ꎬ ＋ ∞ )上单调递减ꎬ故当 ｘ ＝ ２ 时ꎬ函数 ｆ(ｘ) ＝ ｘ ｘ － １ 取得最大值 ２. 考点突破􀅰互动探究 例１. [解析]　 (１)依题意知ꎬ ４ － ｜ ｘ ｜ ≥０ꎬ ｘ２ － ５ｘ ＋ ６ ｘ － ３ > ０ꎬ{ 即 － ４≤ｘ≤４ꎬ ｘ > ２ 且 ｘ≠３.{ 即函数的定义域为(２ꎬ３) ∪ (３ꎬ４]. (２) 使函数有意义满足 ｌｏｇ０. ５ (ｘ － ２) > ０ ２ｘ － ５≠０{ ꎬ解 得 ２ < ｘ < ３ 且 ｘ≠ ５ ２ ꎬ定义域为(２ꎬ ５ ２ ) ∪ ( ５ ２ ꎬ３). [答案]　 (１)Ｃ　 (２)(２ꎬ ５ ２ )∪( ５ ２ ꎬ３) 例２. [分析] 　 求抽象函数定义域的关键ꎬｆ 后面 括号内部分取值范围相同. [解析]　 由函数 ｆ(ｘ)的定义域为( － １ꎬ０)ꎬ则 使函数ｆ(２ｘ ＋ １)有意义ꎬ需满足 － １ < ２ｘ ＋ １ < ０ꎬ解得 － １ < ｘ < － １ ２ ꎬ即所求函数的定义域 为( － １ꎬ － １ ２ ). [答案]　 Ｂ [引申 １] 　 [解析]　 (１)ｆ(２ｘ ＋ １) 的定义域为( － １ꎬ０)ꎬ 即 － １ < ｘ < ０ꎬ∴ － １ < ２ｘ ＋ １ < １ꎬ∴ ｆ( ｘ) 的定 义域为( － １ꎬ１). [引申 ２] 　 [解析]　 ∵ ｙ ＝ ｆ(２ｘ － １)定义域为[０ꎬ１]. ∴ － １≤２ｘ － １≤１ꎬ要使 ｙ ＝ ｆ(２ｘ ＋ １)有意义应 满足 － １≤２ｘ ＋ １≤１ꎬ解得 － １≤ｘ≤０ꎬ 因此 ｙ ＝ ｆ(２ｘ ＋ １)定义域为[ － １ꎬ０]. [变式训练 １] 　 [答案]　 (１)Ｂ　 (２)Ｄ　 (３