习题课 函数性质的综合应用-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

「典例3](1)C(2)C[(1)f(x)是偶； 函数， 习题课函数性质的综合应用 因为f)在区间[0.1]是减函数，号<司 .定义域关于原点对称， 「典例11C 「根据偶函数的性质可知， 1, 则(a-5)+(2a-1)=3a-6=0,解得 f(一√6)=f(6), a=2. 当x∈[0，十∞)时，f(x)是减函数，因为√ 所以f(号)>f(2)>f(1),即f1) 又f(x)=f(一x), 即2x”+bx+8+2b=2(-x)2+b(-x)+8: <,所以f>f(是)>fx),故 <()<(号)故接B] +2b 、 选C 对点训练 解得b=0,,∴，a十b=2. :对点训练 1.C [由题意，函数f(x)是定义在R上的奇 (2)当x>0时，一x<0, 1.B[,函数f(x)为奇函数， 函数，且f(x十1)=f(一x十1)， 则f(-x)=一x2-bx,f(x)=一f(一x)= 且f(x)在区间[0，十∞)上单调递增， 可得f(x十1)=-f(x-1),f(x)=一f(x ∴.f(x)在R上单调递增， 即a.x2-2.x=x2+bx, .f(-1) f(-0.5)f(0).] 所以f(x)=-f(x十2)=f(x十4)， 解得a=1,b=一2， 12.A[因为当1<x1<x时，[f(x)-f(x)] 所以函数(x)是周期为4的周期函数， 又当0<x1时，f(x)=x2一2x十3， 可验证当x<0时，对a=1,b=一2 ·(x一无1)>0恒成立，所以函数f(x)在区间 也有f(x)=一f(一x), (1 )上单调递增，由于函数f(x十1)是偶！ 故f(a十b)=f(-1)-1.] 函数，故函数f(x十1)图象关于y轴对称，所 所以（侵）-（号-）=() 对点训练 以函数f(x)图象关于直线x一1对称，所以： =一 f ()=-f() 1.Dh(x)是奇函数，.h(一x)=一h(x), 3,函 :g(x)是偶函数，g(-x)=g（x), (-2x+3) 由题可得h(x)十g(x)=(x-1)2, ①H 数f(x)在区间(1，十∞)上单调递增，所以： 则h(一x)十g(-x)=(-x-1), f2f(受）f3,即a<c.] 即-h(x)十g(x)=(-x-1)2. ②典例2] 2.C (1)B (2)(1,2) 4 [因为f(x)是R上的奇函数， 由①+②可得2g(x)=(.x-1)2+(-x-1) 且f(x)= 一f(x+2). [(1)由题意，奇函数f(x》 =2x2+2,.gx=x2+1,∴g(1)=1+14 在(0，十∞)上为增函数，且 -1 所以f(x十4)=f(x+2+2)=-f(x+2) 0 =fx}. =2.] 1)=0,所以函数f(x)在 所以f(x)是周期为4的周期函数 k一2 (一∞，0)上为增函数，且 2.土1[因为f(x) 1十k·2证1 f(一1)-一f(1)=0,函数f(x)的图象如图 所示 为一2 所以f(一x)= _k·2r-1 若不等式(x一1)f(.x一1)<0 10: 1十k·22 22+k 则当x>1时，f(x一1)<0，那么x-1<1, 则f(x)+f(一x) 解得1<x<2; (受)=-（受）+红-4 4 4 =k-2)(2+k)+(k·2-1)(1+k·2) 当x1时，fx-1)>0,那么-1<x-1< >0: (1+k·2)(2+k) 0,解得0x1, f(π)=f(π-4)=一f(4-π) (k2-1)(22x+1) 所以不等式(x一1)f(x一1)0的解集为！ [-(4-π)2+2(4-元)] (1+k·2)(2x+k) (0,1)U(1,2). =元2一6π十8=（元一2）（元一4） ≈-0.98>-1. 由题意知函数f(x)为奇函数，则f(一x)十！ (2)由于f(x)是定义在（一1,1）上单调递： 减的奇函数， f(.)=0. 所以由f(1-a)十f(1-a)>0, 所以f(-1)<f)<f(）] 所以k2=1.解得k=士1. 3. g(x)在[-2,2]上是偶函数， 得f(1-a)>-f(1-a2)=f(a2-1), 3.3幂函数 且当x≥0时，函数g(x)是减函数. 1-a<a2-1, 所以-1<1-a<1, 解得1<a<√2. 必备知识·自主梳理 因此g(1-m)<g(m)等价于g(1-m): 21-n≤2 -11-a2<1, [即学即练 <g(m)等价于了-2≤m≤2， 所以实数a的取值范图是(1，√2).] 1.D2.A 1-m>m 对点训 (二)2.R [0,+∞) ∞，0)U 1n3 1.B 因为函数f(x)是定义在区间[一a -x⊙】 奇 奇非奇非偶奇增 -2n2, 2-1≤m<立 1,2a上的偶函数， 增 缪 减(1,1) : 所以 (1-n)2>m 1十2a=0,解得a=1,故f(x一[即学即练 1)f(a)可化为f(x-1)<f(1), 11.(1)/ (2)× (3)× (4) 故m的取值范国为{m一1≤m< } 因为 f(x)在区间[0,2]上单调递增，所以2A -11,解得0x2. 素养演练·提升技能 2.( 3)U(1,+∞) :f(x)是奇函3n由于西数y=之的图象经过点(2，山， 1.A[令g(x)=f(x-2),则g(x)为偶函， 数且在（一∞，0）为增函数， 即2=4，解得a-2,故f(一3)-(-3)2-9.] 数，.g(-4)=f(-6)=5=g(4),又g(4) ∴.f(x)在(0，十o∞)上为增函数， :关键能力·合作探究 典例1 (1)B(2)5或-1 [(1)根据暴 =1(2). 又f(2)=0,..f-2)=0, 函数定义可知，只有y=x2是暴函数，所 ∴2)=4+受 当x10,即x>-1时，由(x+1)f(x+ =5,解得m=2.] 以选B. 1ù>0 2.A[当x<0,则-x>0, 可得f(x十1)>0，即x十1>2，解得x>1:' (2)因为f(x)是暴函数，所以n2一4n一4 且f(-x)=-x(一x+4)=x2-4.x, 十1<0，即x一1时，由(x十1)f(x十 = 因为f(x)为奇函数，故f(x)=一f(一x),· 1)>0, 即m2-4-5=0, 1=5或n=-1.] 故ax一x2=一x2十4x,其中x<0,故 可得f(x十1)<0，即x十1<一2，解得x< 对点训练 a=4. 3. [易知f(x)的定义域关于原点对称， 综上，不等式(x十1)f(x十1)>0的解集为L,A[因为f(x)=ax2+1-b十1是函数， 且fx)=x(x-9)(x-8)·…·(x+7)[典例3] -3)(1,十∞). 所以a=1, -b十1-0，即a=1,b-1,则 (1)A (2)B [(1).f(x+4) a+b=2.] (x十8)(x十9)=x2(x2-81)(x2-64)· 2.16[设f(.x)=x,因为f(4)=16, ·(x2-1), ∴f(x)是以4为周期的函数， .4°=16， ·f(一x)=f(x),，.f(x)是偶函数，故 .∴.f(2023)=f(4×506-1)=f(-1). 解得a=2,..f(一4)=（一4）2=16.] 选A.] fx)是R上的奇函数，且f1)=2, [典例2](1)B(2)C[(1)根据幂函数 4.(1)「假设(1)和(2)都正确，那么(3)必然 .f(-1)=-f(1)=-2, y=x”的性质，在第一象限内的图象当n> 错误，画图（图略）可知(4)也错误，不符合 ∴.f(2023)= -2. 0时，n越大，y=x”递增速度越快，故C1的 题意，所以(1)和(2)中必然有1个是错误： (2)f(x十2)=-f(x)→f(x+2十2)= 的，假设(1)是正确的，（2)是错误的，那么： f(x+2)>f(x)=f(x十4)， n=2,C的n=2;当0时，n越大，曲 (3)也是错误的，不符合题意.如采（2)是正 由此可知函数f(x)的周期为4，因为函数！ 确的，(1)是错误的，(3)和(4)可以都正确， f(x)是奇函数，且f(x十2)= 一(x),所 线越陡峭，所以曲线C3的n=一 之，曲线 符合题意. 以有 C:的n=一2，故远B. 5,f(x)一x(答案不唯一)[由题意可得，要！ f(号)=(-4=f(-) (2)函数y=x是幂函数，而y=ax是一次 求的函数满足下列三条性质中的两条：① 函数，选项A,直线对应函数y一x,曲线对 此函数为偶函数；②定义域为（一∞，0）U 应函数为y=x1;远项B,直线对应函数为 (0,十o∞)：③在(0，十o∞)上为增函数，故这！ ()=(4+)=∫() x,曲线对应函数为y 样的函数有多个，其中，函数f(x)一x满！ x;选项C,直 线对应函数为v=2x,曲线对应函数为y= 足①③，不满足②，符合题意，故答案为 x2;选项D,直线对应函数为y=一x,曲线 f(x)=x,(答案不唯一)，] f(-+2)=-(-2)-f(2)小 对应函数y一x3,故C正确.] 268第三章 函数的概念与性质 习题课 函数性质的综合应用 考法一利用函数的单调性、奇偶性比较大小 A.f(-0.5)<f(0)<f(-1) 具有奇偶性的函数的单调性的特征 B.f(-1)<f(-0.5)<f(0) 奇函数在关于坐标原点对称的区间上具有相同： C.f(0)<f(-0.5)<f(-1) 的单调性；偶函数在关于坐标原点对称的区间 D.f(-1)<f(0)<f(-0.5) 上具有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同：2.已知函数f(x+1)是偶函数，当1<x1<x2时， 偶异”.如二次函数y=x2是偶函数，在(-∞， [f(x2)-f(x1)门(x2-x1)>0恒成立，设a= 0)上单调递减，在(0，十∞)上单调递增；奇函数 y=1是奇函数，在（一∞，0）上单调递减，在 f()b=2)c=f8,则a,6c的大小关 系为 】 (0,十∞)上也单调递减. A.b<a<c B.c<b<a [典例1]设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈ C.b<c<a D.a<b<c (-∞，0]时，f(x)是增函数，则()f(-6), 考法二利用函数的单调性、奇偶性解不等式 f(π)的大小关系是 ) [典例2](1)若奇函数f(x)在(0，+∞)上为增 函数，且f(1)=0,则不等式(x-1)f(x一1)<0 A.f(x)>f-6)>f(2) 的解集为 ( B.f-6)>f()>f(2】 A.(-1,0)U(0,1) B.(0,1)U(1,2) C.(-1,0) D.(0,1) C.f(-6)>f()>f() (2)已知奇函数f(x)在定义域（一1,1）上单调 递减，且f(1-a)十f(1-a2)>0,则实数a的 D.f(π)>f()>f(-6) 取值范围为 听课记录 听课记录 …/题型技法/… /题型技法/ 比较大小的求解策略，看自变量是否在同一单 利用函数奇偶性与单调性解不等式的两种 调区间上 类型 (1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调 (1)利用图象解不等式. 性比较大小 (2)转化为简单不等式求解！ (2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶 ①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知 性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用 不等式转化为f(x1)<∫(x2)或f(x1)> 单调性比较大小 f(x2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶 对点训练 函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式 1.已知f(x)是奇函数，且在区间[0，十∞)上单调 中的“∫”转化为简单不等式（组）求解. 递增，则f(一0.5)，f(一1)，(0)的大小关系是 [提醒]列不等式（组）时不要忘掉函数定 ) 义域 57 数学 必修第一册 对点训练 /方法技巧/ 有关函数周期性的常见结论 1.已知函数f(x)是定义在区间[一a一1,2a]上的 (1)若f(x)对定义域内的任意x都有f(x十a) 偶函数，且在区间[0,2a]上单调递增，则不等式 三一 f(x)(a≠0)，则T-2a. f(x-1)<f(a)的解集为 ( (2)若f(x)对定义域内的任意x都有f(x十a) A.[-1,3] B.(0,2) C.(0,1)U(2,3] D.[-1,0)U(1,2) foa≠0，f)≠0)，则T=2lal. 2.已知奇函数f(x)在（一∞，0）为增函数，且f(2) (3)若f(x)对定义域内的任意x都有f(x十a) =0,则不等式(x+1)f(x+1)>0的解集为 1 aa≠0，fx)≠0)，则T=2la, (4)若f(x)对定义域内的任意x都有f(x十a) 考法三 函数的周期性、奇偶性与单调性的综 合应用 ca0f-D.题T=2al 函数周期性的概念：对于函数f(x),如果存在： (5)若f(x)对定义域内的任意x都有f(x十a) 一个非零常数T,使得定义域内的每一个x值 都满足f(x十T)=f(x),那么函数f(x)就叫作 1+fca≠0，f)≠1)，则T=4la. 1-f(x) 周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期，T (6)若f(x)的图象关于直线x=a对称，且关 的最小正数取值称为函数∫(x)的最小正周期. 于直线x=b(a≠b)对称，则T=2a-b. [典例3](1)已知f(x)是R上的奇函数且 (7)若f(x)的图象关于点(a,0)对称，且关于 f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时，f(x)=2x2, 直线x=b(a≠b)对称，则T=4a-b. 则f(2023)= (8)若f(x)的图象关于点(a,0)对称，且关于 A.-2 B.2 点(b,0)(a≠b)对称，则T=2|a-bl: C.-98 D.98 对点训练 (2)已知定义域为R的函数f(x)是奇函数，且 f(x十2)=一f(x),若f(x)在区间[0,1]是减函数，：1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且关于 则))，侵)的大小关系是 直线x=1对称，当0<x≤1时，f(x)=x2一2x Af)f +3.则) A.、7 kf)侵】 c.r c.- 9 n 2.已知f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)= .<f -f(x十2)，当x∈(0,2)时，f(x)=2x-x2,则 听课记录 f(-I),f引fx)的大小关系是 Af((-D) B.f}f)<f-1) 温馨提示 请做课时分层检测（二十） 58