2.3 函数的单调性与最值（正文）-2021高考理科数学【衡中学案】1轮总复习（全国版）

１ ＋ ( － １) ＝ － ２. 解法二:换元法: 令 １ ＋ ｘ ＝ ｔꎬ则 ｔ≥０ꎬ且 ｘ ＝ ｔ２ － １. ∴ ｙ ＝２ｔ２ ＋ ｔ －２ ＝２(ｔ ＋ １ ４ )２ － １７ ８ ≥ －２(ｔ≥０). ∴ 函数值域为[ － ２ꎬ ＋ ∞ ). (３)令 ｘ － １ ＝ ｔꎬ则 ｘ ＝ ｔ ＋ １(ｔ > ０)ꎬ ∴ ｙ ＝ ｔ (ｔ ＋ １)２ ＋ ｔ ＋ ３ ＝ ｔ ｔ２ ＋ ３ｔ ＋ ４ ＝ １ ｔ ＋ ４ ｔ ＋ ３ ∵ ｔ ＋ ４ ｔ ≥４(ｔ ＝ ２ 时取等号) ∴ ｔ ＋ ４ ｔ ＋ ３≥７ꎬ∴ ０ < ｙ≤ １ ７ ∴ 函数 ｙ ＝ ｘ － １ ｘ２ ＋ ｘ ＋ ２ 的值域为(０ꎬ １ ７ ]. 名师讲坛􀅰素养提升 [变式训练 ３] 　 [答案]　 (１){ － １}　 (２)Ｃ [解析]　 (１)由题意得ꎬ不等式 ２ａ 􀅰ｘ － １ > ０ 的解集为(２ꎬ ＋ ∞ )ꎬ由 ２ａｘ － １ > ０ 可得 ｘ > １ ２ａ ꎬ∴ １ ２ａ ＝ ２ꎬ∴ ａ ＝ － １. (２)由 ｘ２ － ３ｘ － ４ ＝ － ２５ ４ 得 ｘ ＝ ３ ２ ꎻ由 ｘ２ － ３ｘ － ４ ＝ － ４ꎬ得 ｘ ＝ ０ 或 ｘ ＝ ３ꎬ又函数 ｙ ＝ ｘ２ － ３ｘ － ４ 的定义域为[０ꎬｍ]ꎬ值域为[ － ２５ ４ ꎬ － ４]ꎬ ∴ ３ ２ ≤ｍ≤３. [练案 ５] Ａ 组基础巩固 １. Ｃ　 要使函数 ｆ(ｘ)有意义ꎬ则 ｘ － １ > ０ꎬ２ － ｘ > ０ꎬ{ 解得 １ < ｘ < ２ꎬ故选 Ｃ. ２. Ｄ　 因为 ｙ ＝ １３ ｘ 的定义域为{ ｘ ｜ ｘ≠０}ꎬ而 ｙ ＝ １ ｓｉｎｘ 的定义域为{ｘ ｜ ｘ≠ｋπꎬｋ∈Ｚ}ꎬｙ ＝ ｌｎｘ ｘ 的定 义域为{ｘ ｜ ｘ > ０}ꎬｙ ＝ ｘｅｘ 的定义域为 Ｒꎬｙ ＝ ｓｉｎｘ ｘ 的定义域为{ｘ ｜ ｘ≠０}ꎬ故 Ｄ 项正确. ３. Ｃ　 ∵ ｆ(ｘ) ＝ ｘ２ ＋ ｘ ＋ １ 的对称轴为 ｘ ＝ － １ ２ ꎬ ∴ ｆ( ｘ) ｍｉｎ ＝ ｆ( － １ ２ ) ＝ ３ ４ ꎬ 又 ｆ ( － １ ) ＝ １ꎬ ｆ(１) ＝ ３ꎬ∴ ｆ(ｘ)∈[ ３ ４ ꎬ３]. ４. Ｄ　 ｙ ＝ ｘ２ 的值域[０ꎬ ＋ ∞ )ꎬｙ ＝ ｓｉｎｘ 的值域为 [ － １ꎬ１]ꎬｙ ＝ １ ｘ２ ＋ １ 的值域(０ꎬ１]ꎬ故选 Ｄ. ５. Ｂ　 ∵ 函数 ｆ( ｘ) ＝ ｌｏｇ２ ( ｘ － １) ＋ ２ － ｘ 有意 义ꎬ∴ ｘ － １ > ０ꎬ２ － ｘ≥０ꎬ{ 解得 １ < ｘ≤２ꎬ∴ 函数的 ｆ(ｘ)定 义域为(１ꎬ２]ꎬ∴ １ < ｘ ２ ≤２ꎬ解得 ｘ∈(２ꎬ４]ꎬ则函 数 ｆ( ｘ ２ )的定义域为(２ꎬ４]. 故选 Ｂ. ６. Ｄ　 ∵ ｙ ＝ ｘ ＋ １ ｘ － １ ＝ １ ＋ ２ ｘ － １ ≠１ꎬｘ≠１. ∴ 函数 ｙ ＝ ｘ ＋ １ ｘ － １ 的定义域与值域相同. ７. Ｂ　 要使函数有意义ꎬ则 ｘ － ２ａ≥０ꎬｂ － ｘ > ０ꎬ{ 解不等式组得 ｘ≥２ａꎬ ｘ < ｂ.{ ∵ 函数 ｆ(ｘ) ＝ ｘ － ２ａ ＋ ｌｎ(ｂ － ｘ)的定义域为 [２ꎬ４)ꎬ ∴ ２ａ ＝ ２ꎬｂ ＝ ４ꎬ{ ∴ ａ ＝ １ꎬ ｂ ＝ ４ꎬ{ ∴ ａ ＋ ｂ ＝ １ ＋ ４ ＝ ５. 故 选 Ｂ. ８. Ｄ　 ∵ ６ｘ > ０ꎬ∴ ６ｘ ＋ １ > １ꎬ∴ ｌｏｇ６ (６ ｘ ＋ １) > ０ꎬ ∴ ｆ(ｘ) > ２ꎬ故选 Ｄ. ９. Ｄ　 由题意可得 ｍｘ２ ＋ ｍｘ ＋ １≥０ 恒成立. 当 ｍ ＝ ０ 时ꎬ１≥０ 恒成立ꎻ 当 ｍ≠０ 时ꎬ则 ｍ > ０ꎬ ｍ２ － ４ｍ≤０ꎬ{ 解得 ０ < ｍ≤４. 综上可得ꎬ０≤ｍ≤４. １０. Ｃ　 ∵ ｆ(ｘ) ＝ － ｘ２ ＋ ４ｘ ＝ － (ｘ － ２)２ ＋ ４ꎬ ∴ 当 ｘ ＝ ２ 时ꎬｆ(２) ＝ ４ꎬ 由 ｆ(ｘ) ＝ － ｘ２ ＋４ｘ ＝ －５ꎬ解得 ｘ ＝５ 或 ｘ ＝ －１ꎬ ∴ 结合图象可知ꎬ要使函数在[ ｍꎬ５] 上的值 域是[ － ５ꎬ４]ꎬ则 － １≤ｍ≤２. 故选 Ｃ. １１. Ａ　 ∵ ｆ(ｘ)的值域为[１ꎬ２]ꎬ∴ １≤ｌｏｇ２ ｘ≤２ꎬ ∴ ２≤ｘ≤４ꎬ∴ ｆ(ｘ)的定义域为[２ꎬ４]ꎬ ∴ φ(ｘ) ＝ ｆ(２ｘ) ＋ ｆ(ｘ２ )满足 ２≤２ｘ≤４ꎬ ２≤ｘ２ ≤４ꎬ{ 解得 ２ ≤ｘ≤２ꎬ ∴ φ(ｘ)的定义域为[ ２ ꎬ２]ꎬ故选 Ａ. １２. [０ꎬ４) 　 ∵ ０ ≤１６ － ４ｘ < １６ꎬ∴ ０ ≤ １６ － ４ｘ < ４. １３. [ １ ２ ꎬ ３ ２ ] 　 因为函数 ｆ( ｘ) 的定义域是[０ꎬ ２]ꎬ所以函数ｇ(ｘ) ＝ ｆ( ｘ ＋ １ ２ )