2.5 幂函数与二次函数（正文）-2021高考理科数学【衡中学案】1轮总复习（全国版）

ｆ(ｘ)的示意图象ꎬ 所以 ｆ( ｘ) > ０ 的解集为( － １ ２ ꎬ０) ∪( １ ２ ꎬ ＋ ∞ ). １４. － ２　 本题考查函数的奇偶性. 易知 ｆ(ｘ)的定义域为 Ｒꎬ 令 ｇ(ｘ) ＝ ｌｎ( １ ＋ ｘ２ － ｘ)ꎬ 则 ｇ(ｘ) ＋ ｇ( － ｘ) ＝ ０ꎬ ∴ ｇ(ｘ)为奇函数ꎬ∴ ｆ(ａ) ＋ ｆ( － ａ) ＝ ２ꎬ 又 ｆ(ａ) ＝ ４ꎬ∴ ｆ( － ａ) ＝ － ２. Ｂ 组能力提升 １. Ｂ　 因为 ｆ(ｘ) ＝ ｘ２ ＋ ｇ(ｘ)ꎬ且 ｆ( ｘ) 为偶函数ꎬ 所以有( － ｘ)２ ＋ ｇ ( － ｘ) ＝ ｘ２ ＋ ｇ ( ｘ)ꎬ 即 ｇ( － ｘ) ＝ ｇ(ｘ)ꎬ所以 ｇ(ｘ)为偶函数ꎬ由选项可 知ꎬ只有选项 Ｂ 中的函数为偶函数ꎬ故选 Ｂ. ２. Ｃ　 根据题意ꎬｆ(ｘ) ＝ ｘ ２ ＋ ｘ ＋ １ ｘ２ ＋ １ ＝ １ ＋ ｘ ｘ２ ＋ １ ꎬ而 ｈ(ｘ) ＝ ｘ ｘ２ ＋ １ 是奇函数ꎬ故 ｆ( － ａ) ＝ １ ＋ ｈ( － ａ) ＝ １ － ｈ(ａ) ＝ ２ － [１ ＋ ｈ(ａ)] ＝ ２ － ｆ( ａ) ＝ ２ － ２ ３ ＝ ４ ３ . 故选 Ｃ. ３. Ａ　 ∵ ｆ(ｘ) ＝ ｅｘ － ａｅ － ｘ 为奇函数ꎬ∴ ｆ(０) ＝ ０ꎬ 即ｆ(０) ＝ １ － ａ ＝ ０. 则 ａ ＝ １ꎬ即 ｆ(ｘ) ＝ ｅｘ － ｅ － ｘ ꎬ 则函数 ｆ( ｘ) 在( － ∞ ꎬ ＋ ∞ ) 上为增函数ꎬ又 ｆ(１) ＝ ｅ － １ ｅ ꎬ则不等式 ｆ(ｘ － １) < ｅ － １ ｅ 等价 于 ｆ(ｘ － １) < ｆ(１)ꎬ即 ｘ － １ < １ꎬ解得 ｘ < ２ꎬ即 不等式的解集为( － ∞ ꎬ２). 故选 Ａ. ４. Ｃ　 ∵ ｆ(ｘ)是定义域为 Ｒ 的偶函数ꎬ ∴ ｆ( － ｘ) ＝ ｆ(ｘ). ∴ ｆ(ｌｏｇ３ １ ４ ) ＝ ｆ( － ｌｏｇ３４) ＝ ｆ(ｌｏｇ３４). ∵ ｌｏｇ３４ > ｌｏｇ３３ ＝ １ꎬ且 １ > ２ － ２３ > ２ － ３ ２ > ０ꎬ ∴ ｌｏｇ３４ > ２ － ２３ > ２ － ３ ２ > ０. ∵ ｆ(ｘ)在(０ꎬ ＋ ∞ )上单调递减ꎬ ∴ ｆ(２ － ３ ２ ) > ｆ(２ － ２ ３ ) > ｆ(ｌｏｇ３４) ＝ ｆ( ｌｏｇ３ １ ４ ). 故选 Ｃ. ５. Ａ　 ∵ ｆ(ｘ ＋ １) ＝ ｆ(１ － ｘ)ꎬ∴ ｆ( ｘ) ＝ ｆ(２ － ｘ)ꎬ 又函数ｆ(ｘ)为奇函数ꎬ∴ ｆ( － ｘ) ＝ － ｆ(ｘ)ꎬ ∴ ｆ( － ｘ) ＝ － ｆ(２ － ｘ)ꎬ∴ ｆ(２ ＋ ｘ) ＝ － ｆ( ｘ)ꎬ ∴ ｆ(ｘ ＋ ４) ＝ － ｆ(ｘ ＋ ２) ＝ ｆ(ｘ)ꎬ∴ 函数 ｆ(ｘ) 为 周期函数ꎬ周期为 ４. 当 ｘ∈( － １ꎬ１)时ꎬ令 ｆ(ｘ) ＝ ｌｇ １ ＋ ｘ １ － ｘ ＝ １ꎬ 得 ｘ ＝ ９ １１ ꎬ 又 ｆ ( ２ ０１８ － ａ) ＝ ｆ(２ － ａ) ＝ ｆ(ａ)ꎬ∴ ａ 可以是 ９ １１ ꎬ故选 Ａ. 第五讲　 幂函数与二次函数 知识梳理 知识点 {ｘ ｜ ｘ≥０}　 {ｘ ｜ ｘ≠０}　 {ｙ ｜ ｙ≥０} 　 {ｙ ｜ ｙ≥０} 　 {ｙ ｜ ｙ≠０}　 奇　 偶　 奇　 非奇非偶　 奇 ( － ∞ ꎬ０)　 (０ꎬ ＋ ∞ ) 　 [０ꎬ ＋ ∞ ) 　 ( － ∞ ꎬ０) 　 (０ꎬ ＋ ∞ )　 (１ꎬ１) 知识点二 [４ａｃ － ｂ ２ ４ａ ꎬ ＋ ∞ )　 ( － ∞ ꎬ ４ａｃ － ｂ２ ４ａ ] ( － ∞ ꎬ － ｂ ２ａ )　 ( － ∞ ꎬ － ｂ ２ａ ) ( － ｂ ２ａ ꎬ４ａｃ － ｂ ２ ４ａ )　 ｂ ＝ ０ 双基自测 １. (１) × 　 (２) √　 (３) × 　 (４) √　 (５) × 　 (６) × ２. Ｃ　 由幂函数的定义知 ｋ ＝ １. 又 ｆ( １ ２ ) ＝ ２ ２ ꎬ 所以 ( １ ２ ) α ＝ ２ ２ ꎬ 解 得 α ＝ １ ２ ꎬ 从 而 ｋ ＋ α ＝ ３ ２ . ３. － ３　 １７ ４. ２ ５. Ａ　 ｆ( ｘ) ＝ ｘ １ ３ 在 (０ꎬ ＋ ∞ ) 上为增函数ꎬａ ＝ １６ １ ３ ꎬｂ ＝ ９ １ ３ ꎬｃ ＝ ２５ １ ３ ꎬ∴ ｃ > ａ > ｂ. 故选 Ａ. ６. Ｂ　 ｆ(ｘ) ＝ (ｘ ＋ ａ ２ )２ － ａ ２ ４ ＋ ｂꎬ①当 ０≤ － ａ ２ ≤１ 时ꎬｆ(ｘ)ｍｉｎ ＝ ｍ ＝ ｆ( － ａ ２ ) ＝ － ａ ２ ４ ＋ ｂꎬｆ(ｘ)ｍａｘ ＝ Ｍ ＝ ｍａｘ{ｆ(０)ꎬｆ(１)} ＝ ｍａｘ{ｂꎬ１ ＋ ａ ＋ ｂ}ꎬ∴ Ｍ － ｍ ＝ ｍａｘ{ ａ ２ ４ ꎬ１ ＋ ａ ＋ ａ ２ ４ } 与 ａ