2.9 函数与方程（正文）-2021高考理科数学【衡中学案】1轮总复习（全国版）

例５. [解析]　 ｆ(ｘ)为奇函 数ꎬｆ(ｘ) － ｆ( － ｘ) ｘ < ０⇔ ｆ(ｘ) ｘ < ０⇔ｘｆ(ｘ) < ０ꎬ由 题意可知 ｆ(ｘ)的大致图 象如图所示ꎬ所以所求 不等式的解集为( － １ꎬ０)∪(０ꎬ１). [答案]　 Ｄ [引申] 　 ( － ∞ ꎬ － １)∪(０ꎬ１) [变式训练 ２] 　 [答案]　 (１)Ｄ (２)Ｂ　 (３)( － π ２ ꎬ － １)∪(１ꎬ π ２ ) [解析]　 (１)解法一:设 ｔ ＝ ｘ － １ꎬ则 ｙ ＝ ｆ(ｔ)与 ｙ ＝ ｆ( － ｔ)ꎬ关于 ｔ ＝ ０ 对称ꎬ即关于 ｘ ＝ １ 对称. 故选 Ｄ. 解法二:ｙ ＝ ｆ(ｘ － １)与 ｙ ＝ ｆ(１ － ｘ)的图象分别 由 ｙ ＝ ｆ(ｘ)与 ｙ ＝ ｆ( － ｘ) 的图象同时向右平移 一个单位而得ꎬ又 ｙ ＝ ｆ(ｘ)与 ｙ ＝ ｆ( － ｘ)的图象 关于 ｙ 轴对称ꎬ所以 ｙ ＝ ｆ(ｘ － １)与 ｙ ＝ ｆ(１ － ｘ) 的图象关于直线 ｘ ＝ １ 对称. 故选 Ｄ. (２)对于①ꎬｆ(ｘ ＋ ２) ＝ ｌｇ( ｜ ｘ ｜ ＋ １) 是偶函数ꎻ 对于②ꎬ当ｘ∈( － ∞ ꎬ２)时ꎬｆ(ｘ) ＝ ｌｇ(３ － ｘ) 是 减函数ꎬ当 ｘ∈(２ꎬ ＋ ∞ )时ꎬｆ(ｘ) ＝ ｌｇ(ｘ － １)是 增函数ꎻ对于③ꎬｆ(ｘ) ＝ ｌｇ( ｜ ｘ － ２ ｜ ＋ １) ≥０ 有 最小值 ０ꎬ故选 Ｂ. (３)在(０ꎬ π ２ ) 上ꎬｙ ＝ ｃｏｓ ｘ > ０ꎬ在( π ２ ꎬ４) 上ꎬ ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ < ０. 由 ｆ(ｘ) 的图象知ꎬ在(１ꎬ π ２ ) 上ꎬ ｆ(ｘ) ｃｏｓ ｘ < ０. 因为 ｆ(ｘ)为偶函数ꎬｙ ＝ ｃｏｓ ｘ 也是偶 函数ꎬ所以 ｙ ＝ ｆ(ｘ) ｃｏｓ ｘ 为偶函数ꎬ所以ｆ(ｘ) ｃｏｓ ｘ < ０ 的 解集为( － π ２ ꎬ － １)∪(１ꎬ π ２ ). 名师讲坛􀅰素养提升 [变式训练 ３] 　 [答案]　 Ｂ 由图象变换的法则可知ꎬｙ ＝ ｌｎ ｘ 的图象关于 ｙ 轴对称后的图象和原来的一起构成 ｙ ＝ ｌｎ ｜ ｘ ｜ 的图 象ꎬ 向 右 平 移 １ 个 单 位 长 度 得 到 ｙ ＝ ｌｎ ｜ ｘ － １ ｜ 的图象ꎻｙ ＝ － ２ｃｏｓ πｘ 的周期Ｔ ＝ ２. 如 图所示ꎬ两函数的图象都关于直线 ｘ ＝ １ 对称ꎬ 且有 ３ 对交点ꎬ每对交点关于直线 ｘ ＝ １ 对称ꎬ 故所有交点的横坐标之和为 ２ × ３ ＝ ６. [练案 １１] Ａ 组基础巩固 １. Ｄ　 由点 ( ｘꎬ ｙ) 关 于 原 点 的 对 称 点 是 ( － ｘꎬ － ｙ)ꎬ可知 Ｄ 正确. 故选 Ｄ. ２. Ａ　 由题意可知ꎬ函数 ｆ( ｘ) 的定义域为 Ｒꎬ且 ｆ(ｘ) ＝ ４ ｘ － １ ２ｘ ＝ ２ｘ － ２ － ｘ ꎬｆ( － ｘ) ＝ ２ － ｘ － ２ｘ ＝ － ｆ(ｘ)ꎬ所以函数 ｆ(ｘ)为奇函数ꎬ故选 Ａ. ３. Ｄ　 因为 ｆ( １ ４ ) > ｆ(３) > ｆ(２)ꎬ所以函数 ｆ(ｘ) 有增有减ꎬ排除 ＡꎬＢ. 又 Ｃ 中ꎬｆ( １ ４ ) < ｆ(０) ＝ １ꎬｆ(３) > ｆ(０)ꎬ即ｆ( １ ４ ) < ｆ(３)ꎬ所以排除 Ｃ. ４. Ｃ　 由图象可知:ａ( － １) ＋ ｂ ＝ ３ꎬｌｎ( － １ ＋ ａ) ＝ ０ꎬ 所 以 ａ ＝ ２ꎬ ｂ ＝ ５ꎬ ｆ ( ｘ ) ＝ ２ｘ ＋ ５ꎬｘ < － １ꎬ ｌｎ(ｘ ＋ ２)ꎬｘ≥ － １ꎬ{ 所以 ｆ( － ３) ＝ ２ × ( － ３) ＋ ５ ＝ － １. ５. Ａ　 ｙ ＝ ｌｏｇ２ ｘ － １ ＝ ｌｏｇ２ (ｘ － １) １ ２ ＝ １ ２ ｌｏｇ２ (ｘ － １)ꎬ由 ｙ ＝ ｌｏｇ２ ｘ 的图象纵坐标缩短到原来的 １ ２ ꎬ横坐标不变ꎬ可得 ｙ ＝ １ ２ ｌｏｇ２ｘ 的图象ꎬ再向 右平移 １ 个单位ꎬ可得 ｙ ＝ １ ２ ｌｏｇ２ (ｘ － １)的图象ꎬ 也即 ｙ ＝ ｌｏｇ２ ｘ －１的图象. 故选 Ａ. ６. Ｄ　 因为函数 ｙ ＝ ｅｓｉｎ ｘ ( － π≤ｘ≤π) 为非奇非 偶函数ꎬ 所以排除 Ａꎬ Ｃ. 函 数 的 导 数 为 ｙ′ ＝ ｅｓｉｎ ｘ 􀅰ｃｏｓ ｘꎬ令 ｙ′ ＝ ０ꎬ得 ｃｏｓ ｘ ＝ ０ꎬ此时 ｘ ＝ π ２ 或 ｘ ＝ － π ２ . 当 ０ < ｘ < π ２ 时ꎬｙ′ > ０ꎬ函数递增ꎻ 当 π ２ < ｘ < π 时ꎬｙ′ < ０ꎬ函数递减ꎬ所以 ｘ ＝ π ２ 是函数 ｙ ＝ ｅｓｉｎ ｘ 的极大值点. 故选 Ｄ. ７. Ｃ　 将 ｆ(ｘ)的图象左移一个单位ꎬ再将所得图 象沿 ｘ 轴翻折( 即作关于 ｘ 轴对称的图象) 即 得 ｙ ＝ － ｆ(ｘ ＋ １) 的图