2.10 函数模型及其应用（正文）-2021高考理科数学【衡中学案】1轮总复习（全国版）

∴ ｌｏｇ２( － ｘ１) ＋ ｌｏｇ２( － ｘ２) <０ꎬ即 ｌｏｇ２(ｘ１ｘ２) <０ꎬ ∴ ０ < ｘ１ ｘ２ < １ꎬ故选 Ｂ. [练案 １２] Ａ 组基础巩固 １. Ｂ　 函数 ｙ ＝ ｌｏｇ １ ２ ｘ 在定义域上单调递减ꎬｙ ＝ ｘ２ － １ ２ 在( － １ꎬ１) 上不是单调函数ꎬｙ ＝ － ｘ３ 在定义域上单调递减ꎬ均不符合要求. 对于 ｙ ＝ ２ｘ － １ꎬ当 ｘ ＝ ０∈( － １ꎬ１)时ꎬｙ ＝ ０ 且 ｙ ＝ ２ｘ － １ 在 Ｒ 上单调递增. 故选 Ｂ. ２. Ｃ　 ２ａ ＋ ｂ ＝ ０ꎬ∴ ｇ(ｘ) ＝ － ２ａｘ２ － ａｘ ＝ ０ꎬ得 ｘ ＝ ０ 或 － １ ２ ꎬ故选 Ｃ. ３. Ｃ　 函数 ｆ(ｘ)为增函数ꎬ因为 ｆ( － １) ＝ ３ － １ － １ ＝ － ２ ３ ꎬｆ(０) ＝ １ ＋ ０ ＝ １ꎬ所以函数 ｆ(ｘ) 的零 点所在的区间为( － １ꎬ０). 故选 Ｃ. ４. Ｃ　 因为 ｆ(１) > ０ꎬｆ(２) < ０ꎬ所以 ｆ(ｘ)在(１ꎬ２) 上必有零点ꎬ又因为函数为二次函数ꎬ所以有 且仅有一个零点. 故选 Ｃ. ５. Ｄ　 选项 Ａꎬｘ１ ＝ １ꎻ选项 Ｂꎬｘ１ ＝ ０ꎻ选项 Ｃꎬｘ１ ＝ ３ ２ 或 － １ ２ ꎻ选项 Ｄꎬｘ１ ＝ １ ４ . 因为 ｇ(１) ＝ ４ ＋ ２ － ２ > ０ꎬｇ( １ ２ ) ＝ ２ ＋ １ － ２ > ０ꎬｇ( １ ４ ) ＝ ２ ＋ １ ２ － ２ < ０ꎬ ｇ (０ ) ＝ １ － ２ < ０ꎬ 则 ｘ２ ∈ ( １ ４ ꎬ １ ２ ). 选项中ꎬ只有 ｘ１ ＝ １ ４ 时ꎬ满足 ｜ ｘ１ － ｘ２ ｜ ≤ ０. ２５. 故选 Ｄ. ６. Ｃ　 在同一坐标系中作出函数 ｙ ＝ ２ｘ ꎬｙ ＝ ｌｏｇ １ ２ ｘ 的图象ꎬ由图象可知ꎬ当 ０ < ｘ０ < ａ 时ꎬ有 ２ ｘ０ < ｌｏｇ １ ２ ｘ０ ꎬ即 ｆ(ｘ０ ) < ０. ７. Ｄ　 由 函 数 ｆ ( ｘ) ＝ ２ ｜ ｘ ｜ － ｋ 存在零点ꎬ得 ２ ｜ ｘ ｜ ＝ ｋ 有解ꎬ作出函 数 ｙ ＝ ２ ｜ ｘ ｜ 的图象如 图所示ꎬ则由图象可 知ꎬ要使函数 ｆ(ｘ) ＝ ２ ｜ ｘ ｜ － ｋ 存在零点ꎬ只 需 ｙ ＝ ２ ｜ ｘ ｜ 与 ｙ ＝ ｋ 的 图象有交点ꎬ则 ｋ ≥ １ꎬ故选 Ｄ. ８. Ｃ　 由 ｆ(ｘ) ＝ ｘｃｏｓ ｘ２ ＝ ０ꎬ得 ｘ ＝ ０ 或 ｃｏｓ ｘ２ ＝ ０. 又ｘ∈[０ꎬ４]ꎬ所以 ｘ２ ∈[０ꎬ１６〗. 由于 ｃｏｓ( π ２ ＋ ｋπ) ＝ ０(ｋ∈Ｚ)ꎬ而在 π ２ ＋ ｋπ( ｋ∈Ｚ) 的所有 取值中ꎬ只有 π ２ ꎬ３π ２ ꎬ５π ２ ꎬ７π ２ ꎬ９π ２ 满足在[０ꎬ １６]内ꎬ故零点个数为 １ ＋ ５ ＝ ６. 故选 Ｃ. ９. Ｂ　 ∵ 偶函数 ｆ(ｘ) 满足 ｆ( ｘ ＋ ２) ＝ ｆ( ｘ)ꎬ∴ 函 数的周期为 ２. 当 ｘ∈[０ꎬ１]时ꎬｆ(ｘ) ＝ ｘꎬ故当 ｘ ∈[ － １ꎬ０] 时ꎬｆ( ｘ) ＝ － ｘ. 函 数 ｙ ＝ ｆ ( ｘ) － ｌｏｇ３ ｜ ｘ ｜ 的零点的个数等于函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的图象 与函数 ｙ ＝ ｌｏｇ３ ｜ ｘ ｜ 的图象的交点个数. 在同一 个坐标系中画出函数 ｙ ＝ ｆ(ｘ) 的图象与函数 ｙ ＝ ｌｏｇ３ ｜ ｘ ｜ 的图象ꎬ如图所示显然函数 ｙ ＝ ｆ( ｘ) 的图象与函数 ｙ ＝ ｌｏｇ３ ｜ ｘ ｜ 的图象有 ４ 个交点ꎬ 故选 Ｂ. １０. Ｃ　 令 ｆ( ｘ) ＝ ０ꎬ得 ｜ ｌｏｇａｘ ｜ ＝ ３ － ｘ ꎬ易知 ｙ ＝ ｜ ｌｏｇａｘ ｜ 与 ｙ ＝ ３ － ｘ 的图象有 ２ 个交点. 不妨设 ｍ < ｎꎬａ > １ꎬ作出两个函数的图象ꎬ如图所示ꎬ ∴ ３ － ｍ > ３ － ｎ ꎬ即 － ｌｏｇａｍ > ｌｏｇａｎꎬ∴ ｌｏｇａｍ ＋ ｌｏｇａｎ < ０ꎬ即 ｌｏｇａ (ｍｎ) < ０ꎬ∴ ｍｎ < １. 故选 Ｃ. １１. － １ ２ 　 由已知得 ｆ(１) ＝ ０ꎬ即 ２ ３１ ＋ １ ＋ ａ ＝ ０ꎬ 解得 ａ ＝ － １ ２ . １２. ２　 因为 ｆ ( ｘ) 在 (０ꎬ ＋ ∞ ) 上 单 调 递 增ꎬ 且 ｆ(２) ＝ － １ ＋ ｌｎ２ < ０ꎬｆ(３) ＝ ２ ＋ ｌｎ３ > ０ꎬ所以 函数 ｆ(ｘ)的零点位于区间(２ꎬ３)内ꎬ故 ｎ ＝ ２. １３. ３ ２ 　 因为函数 ｆ( ｘ) 的图象关于直线 ｘ ＝ １ ２ 对称ꎬ所以方程 ｆ(ｘ) ＝ ０ 有三个实根时ꎬ一定 有一个根是 １ ２ ꎬ另外两个根的和为 １ꎬ故方程 ｆ(ｘ) ＝ ０ 的三个实根的和为 ３ ２ . １４. ( － １ꎬ０)　 关于 ｘ 的方程 ｆ( ｘ) ＝ ｋ 有三