2.11 导数的概念及运算（正文）-2021高考理科数学【衡中学案】1轮总复习（全国版）

剩下 ９０％ ꎬ 即 ｔ ＝ ５ 时ꎬ Ｐ ＝ ０. ９Ｐ０ ꎬ 代 入ꎬ 得 (ｅ － ｋ )５ ＝ ０. ９ꎬ∴ ｅ － ｋ ＝ ５ ０. ９ ＝ ０. ９ １ ５ ꎬ∴ Ｐ ＝ Ｐ０ ｅ － ｋｔ ＝ Ｐ０ (０. ９ １ ５ ) ｔ. 当污染物减少 １９％ 时ꎬ 污染物 剩 下 ８１％ ꎬ 此 时 Ｐ ＝ ０. ８１Ｐ０ ꎬ 代 入 得 ０. ８１ ＝ (０. ９ １ ５ ) ｔ ꎬ解得 ｔ ＝ １０ꎬ即需要花费 １０ 小时. ４. [解析]　 (１)ｙ ＝ ｆ(ｘ)的定义域是[１０ꎬ１ ０００]ꎬ 值域是(０ꎬ９]ꎬ ｙ ｘ ∈(０ꎬ０. ２]. (２)①不符合要求ꎬ②符合要求ꎬ理由如下. 当 ｙ ＝ ｘ １５０ ＋ ２ 时ꎬ ｙ ｘ ＝ １ １５０ ＋ ２ ｘ 的最大值是 ３１ １５０ > ０. ２ꎬ不符合要求. 当 ｙ ＝ ４ｌｇ ｘ － ３ 时ꎬ该函数在定义域上为增函 数ꎬ最大值为 ９. ｙ ｘ ≤０. ２⇔ｙ － ０. ２ｘ≤０. 令 ｇ( ｘ) ＝ ４ｌｇ ｘ － ３ － ０. ２ｘꎬｘ∈[１０ꎬ１ ０００]ꎬ则 ｇ′( ｘ) ＝ ２０ － ｘｌｎ １０ ５ｘｌｎ １０ < ０. 所以 ｇ(ｘ) ≤ｇ(１０) ＝ － １ < ０ꎬ即 ｙ ｘ ≤０. ２. 故 函数 ｙ ＝ ４ｌｇ ｘ － ３ 符合公司的要求. 第十一讲　 导数的概念及运算 知识梳理 知识点一 瞬时变化率　 ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ(ｘ ＋ Δｘ) － ｆ(ｘ) Δｘ 　 ０ 　 ｎｘｎ － １ 　 ｃｏｓ ｘ　 － ｓｉｎ ｘ　 ａｘ ｌｎ ａ　 ｅｘ 　 １ ｘ ｆ′(ｘ) ± ｇ′(ｘ)　 ｆ′(ｘ)ｇ(ｘ) ＋ ｆ(ｘ)ｇ′(ｘ)　 Ｃｆ′(ｘ) 　 ｆ′(ｘ)ｇ(ｘ) － ｆ(ｘ)ｇ′(ｘ) [ｇ(ｘ)]２ (ｇ(ｘ)≠０) ｙｘ′ ＝ ｙｕ′􀅰ｕｘ′ 知识点二 ｙ － ｙ０ ＝ ｆ′(ｘ０ )(ｘ － ｘ０ ) 双基自测 １. (１) × 　 (２) × 　 (３) √　 (４) × 　 (５) × 　 (６) × 　 (７) × 　 (８)√ [解析] 　 (２) 曲线 ｙ ＝ ｆ(ｘ) 在点 Ｐ(ｘ０ ꎬｙ０ ) 处 的切线ꎬ点 Ｐ 在曲线上ꎬ而过点 Ｐ(ｘ０ ꎬｙ０ ) 的切 线ꎬ点 Ｐ 可以在曲线外. (３)如图所示ꎬ切线可以与曲线有多个公共点. (４)如图所示ꎬ直线与曲线只有一个公共点ꎬ但 不是切线. ２. (１)４ｘ３ － ９ｘ２ 　 (２)ｅｘ ＋ ｘｅｘ 　 (３)ｃｏｓ２ｘ (４) － １ ｘｌｎ２ ｘ ３. Ｃ　 ｆ′(ｘ) ＝ ２ｆ′(１) ＋ ｌｎ ｘ ＋ １ꎬ 当 ｘ ＝ １ 时ꎬｆ′(１) ＝ ２ｆ′(１) ＋ １ꎬ ∴ ｆ′(１) ＝ － １ꎬ故选 Ｃ. ４. ｙ ＝ ３ｘ　 因为 ｙ′ ＝ ３(２ｘ ＋ １) ｅｘ ＋ ３(ｘ２ ＋ ｘ) ｅｘ ＝ ３(ｘ２ ＋ ３ｘ ＋ １)ｅｘ ꎬ所以曲线在点(０ꎬ０) 处的切 线的斜率 ｋ ＝ ｙ′ ｜ ｘ ＝ ０ ＝ ３ꎬ所以所求的切线方程 为 ｙ ＝ ３ｘ. ５. (ｅꎬ１)　 设 Ａ(ｘ０ ꎬｌｎ ｘ０ )ꎬ又 ｙ′ ＝ １ ｘ ꎬ则曲线ｙ ＝ ｌｎ ｘ 在点 Ａ 处的切线方程为 ｙ － ｌｎ ｘ０ ＝ １ ｘ０ (ｘ － ｘ０ )ꎬ将( － ｅꎬ － １)代入得ꎬ － １ － ｌｎ ｘ０ ＝ １ ｘ０ ( － ｅ － ｘ０ )ꎬ化简得 ｌｎ ｘ０ ＝ ｅ ｘ０ ꎬ解得 ｘ０ ＝ ｅꎬ则点 Ａ 的坐标是(ｅꎬ１). 考点突破􀅰互动探究 例１. [分析]　 ①直接求导ꎻ②③化简后再求导ꎻ ④利用商的导数运算法则求解ꎻ⑤⑥用复合函 数求导法则求导. (２)先求出 ｆ ′(１) 得出导函数的解析式ꎬ再把 ｘ ＝ ３代入导函数解析式得 ｆ′(３). [解析]　 (１) ①ｙ′ ＝ (ｌｎ ｘ ＋ １ ｘ )′ ＝ (ｌｎ ｘ)′ ＋ ( １ ｘ )′ ＝ １ ｘ － １ ｘ２ . ②因为 ｙ ＝ (２ｘ２ －１)(３ｘ ＋１) ＝６ｘ３ ＋２ｘ２ －３ｘ －１ꎬ 所以 ｙ′ ＝ (６ｘ３ ＋ ２ｘ２ － ３ｘ － １)′ ＝ (６ｘ３)′ ＋ (２ｘ２)′ － (３ｘ)′ － (１)′ ＝１８ｘ２ ＋４ｘ －３. 另解:ｙ′ ＝ (２ｘ２ － １ )′ (３ｘ ＋ １ ) ＋ (２ｘ２ － １ ) (３ｘ ＋ １)′ ＝ ４ｘ(３ｘ ＋ １) ＋ ３(２ｘ２ － １) ＝ １２ｘ２ ＋ ４ｘ ＋ ６ｘ２ － ３ ＝ １８ｘ２ ＋ ４ｘ － ３. ③因为 ｙ ＝ ｘ － ｓｉｎ ｘ ２ ｃｏｓ ｘ ２ ＝ ｘ － １ ２ ｓｉｎｘꎬ 所以 ｙ′ ＝ (ｘ － １ ２ ｓｉｎｘ)′ ＝ ｘ′ － ( １ ２ ｓｉｎｘ)′ ＝ １ － １ ２ ｃｏｓｘ. ④ｙ′