2.12.1 导数与函数的单调性（正文）-2021高考理科数学【衡中学案】1轮总复习（全国版）

解得 ｘ０ ＝ １ 或 ｘ０ ＝ － １ ２ . 故所求的切线方程为 ｙ ＋ １ ＝ ｘ － １ 或 ｙ ＋ １ ＝ － ５ ４ (ｘ － １). 即 ｘ － ｙ － ２ ＝ ０ 或 ５ｘ ＋ ４ｙ － １ ＝ ０. (３)由题意知 ｙ′ ＝ ３ ｘ ＋ １ ＝ ４ꎬ解得 ｘ ＝ １ꎬ 此时 ４ × １ － ｙ － １ ＝ ０ꎬ解得 ｙ ＝ ３ꎬ故点 Ｐ０ 的坐 标是(１ꎬ３). (４) 本 题 考 查 导 数 的 综 合 应 用. 设 ｆ ( ｘ) ＝ (ａｘ ＋ １)ｅｘꎬ则ｆ′(ｘ) ＝ ( ａｘ ＋ ａ ＋ １) ｅｘꎬ所以曲 线在点(０ꎬ１) 处的切线的斜率ｋ ＝ ｆ′(０) ＝ ａ ＋ １ ＝ － ２ꎬ解得 ａ ＝ － ３. 名师讲坛􀅰素养提升 [引申] 　 [答案]　 ｙ ＝ ２ｘ ＋ １ － ｌｎ ２ [解析]　 ｋ ＝ １ ｘ１ ＝ ２ꎬ∴ 公切线方程为 ｙ ＝ ２ｘ ＋ １ － ｌｎ ２. [变式训练 ３] 　 [答案]　 ８ [解析]　 设直线 ｌ 与曲线 Ｃ:ｙ ＝ ｘ ＋ ｌｎ ｘ 切于 Ｐ(ｘ０ ꎬｘ０ ＋ ｌｎ ｘ０ )ꎬ则 ｋ切 ＝ ｙ′ ｜ ｘ ＝ ｘ０ ＝ １ ＋ １ ｘ０ . ∴ １ ＋ １ ｘ０ ＝ ｘ０ ＋ ｌｎ ｘ０ ＋ １ ｘ０ ꎬ解得 ｘ０ ＝ １ꎬ ∴ 切线 ｌ 的方程为 ｙ ＝ ２ｘ － １. 又直线 ｌ 与曲线 ｙ ＝ ａｘ２ ＋ (ａ ＋ ２)ｘ ＋ １ 相切. ∴ 方程 ２ｘ － １ ＝ ａｘ２ ＋ ( ａ ＋ ２) ｘ ＋ １ 即 ａｘ２ ＋ ａｘ ＋ ２ ＝ ０ 的判别式 Δ ＝ ａ２ － ８ａ ＝ ０ꎬ∴ ａ ＝ ８ 或 ０(舍去). [练案 １４] Ａ 组基础巩固 １. Ｂ　 因为(ｘ ＋ １ ｘ )′ ＝ １ － １ ｘ２ ꎬ所以选项 Ａ 不正 确ꎻ因为(ｌｏｇ２ ｘ)′ ＝ １ ｘｌｎ ２ ꎬ所以选项 Ｂ 正确ꎻ因 为(３ｘ )′ ＝ ３ｘ ｌｎ ３ꎬ 所以 选 项 Ｃ 不 正 确ꎻ 因 为 (ｘ２ ｃｏｓ ｘ)′ ＝ ２ｘｃｏｓ ｘ － ｘ２ ｓｉｎ ｘꎬ所以选项 Ｄ 不正 确. 故选 Ｂ. ２. Ｂ　 ｆ′(ｘ) ＝ (ｅ ２ｘ )′ｘ － ｅ２ｘ 􀅰ｘ′ ｘ２ ＝ ２ｅ ２ｘ 􀅰ｘ － ｅ２ｘ ｘ２ ＝ (２ｘ － １)ｅ２ｘ ｘ２ . 故选 Ｂ. ３. Ｂ　 由已知得 ｆ′(ｘ) ＝ ２ｆ′(１) － １ ｘ ꎬ令 ｘ ＝ １ꎬ得 ｆ′(１) ＝ ２ｆ′(１) － １ꎬ解得 ｆ ′(１) ＝ １ꎬ则 ｆ(１) ＝ ２ｆ′(１) ＝ ２. ４. Ｂ　 由函数 ｆ(ｘ) ＝ ａｘ２ ＋ (１ － ａ) ｘ ＋ ２ ｘ 是奇函 数ꎬ得 ｆ( － ｘ) ＝ － ｆ(ｘ)ꎬ可得 ａ ＝ ０ꎬ则 ｆ(ｘ) ＝ ｘ ＋ ２ ｘ ꎬｆ′(ｘ) ＝ １ － ２ ｘ２ ꎬ故曲线 ｙ ＝ ｆ(ｘ) 在 ｘ ＝ １ 处的切线斜率 ｋ ＝ １ － ２ ＝ － １ꎬ可得所求切线的 倾斜角为 ３π ４ ꎬ故选 Ｂ. ５. Ｂ　 设切点坐标为(ｎꎬ １ ｍ )ꎬ对 ｙ ＝ ｘｅｘ 求导得 ｙ′ ＝ (ｘｅｘ )′ ＝ ｅｘ ＋ ｘｅｘ ꎬ若直线 ｙ ＝ １ ｍ 是曲线 ｙ ＝ ｘｅｘ 的一条切线ꎬ则有 ｙ′ ｜ ｘ ＝ ｎ ＝ ｅ ｎ ＋ ｎｅｎ ＝ ０ꎬ 解得 ｎ ＝ － １ꎬ此时有 １ ｍ ＝ ｎｅｎ ＝ － １ ｅ ꎬ∴ ｍ ＝ － ｅ. 故选 Ｂ. ６. Ａ　 当 ｘ < ０ 时ꎬ － ｘ > ０ꎬ∴ ｆ( － ｘ) ＝ － ｘ ｘ ＋ ２ ꎬ ∴ ｆ(ｘ) ＝ ｘ ｘ ＋ ２ (ｘ < ０)ꎬ又 ｆ ′( － １) ＝ ２ꎬｆ( － １) ＝ － １ꎬ∴ 切线方程为 ｙ ＋ １ ＝ ２(ｘ ＋ １)ꎬ即 ２ｘ － ｙ ＋ １ ＝ ０. 故选 Ａ. ７. Ｂ　 由题图可知曲线 ｙ ＝ ｆ(ｘ)在 ｘ ＝ ３ 处切线的 斜率为 － １ ３ ꎬ 即 ｆ ′ (３ ) ＝ － １ ３ ꎬ 又 ｇ ( ｘ) ＝ ｘｆ(ｘ)ꎬｇ′(ｘ) ＝ ｆ(ｘ) ＋ ｘｆ′(ｘ)ꎬｇ′(３) ＝ ｆ(３) ＋ ３ｆ′(３)ꎬ由题图可知 ｆ(３) ＝ １ꎬ所以ｇ′(３) ＝ １ ＋ ３ × ( － １ ３ ) ＝ ０. ８. Ｂ　 依题意得 ｆ′(ｘ)≥ ３ ꎬ即曲线 ｙ ＝ ｆ(ｘ) 在任 意一点处的切线斜率不小于 ３ ꎬ故其倾斜角的 取值范围是[ π ３ ꎬ π ２ ). 故选 Ｂ. ９. Ａ　 设切点为(ｍꎬ １ ｍ )ꎬｍ≠０ꎬｙ ＝ １ ｘ 的导数为 ｙ′ ＝ － １ ｘ２ ꎬ可得切线的斜率 ｋ ＝ － １ ｍ２ ꎬ切线方 程为 ｙ － １ ｍ ＝ － １ ｍ２ (ｘ － ｍ)ꎬ代入(２ꎬ０)ꎬ可得 － １ ｍ ＝ － １ ｍ２ (２ － ｍ)ꎬ解得 ｍ ＝ １ꎬ则切线方程 为