2.12.3 导数与函数的零点或方程的根、不等式（正文）-2021高考理科数学【衡中学案】1轮总复习（全国版）

１０. π ２ 　 因为 ｆ′(ｘ) ＝ ｓｉｎｘ ＋ ｘｃｏｓｘ － ｓｉｎｘ ＝ ｘｃｏｓｘꎬ 当 ｘ∈[ π ６ ꎬ π ２ ] 时ꎬｆ ′( ｘ) ≥０ꎬ函数 ｆ( ｘ) 递 增ꎬ当 ｘ∈( π ２ ꎬπ]时ꎬｆ′(ｘ) < ０ꎬ函数 ｆ(ｘ) 递 减ꎬ所以 ｆ(ｘ) ｍａｘ ＝ ｆ( π ２ ) ＝ π ２ . １１. ｙ ＝ － １ ｅ 　 ｙ′ ＝ ( ｘ ＋ １) ｅｘ ꎬ当 ｘ < － １ 时ꎬｙ′ < ０ꎻ 当 ｘ > － １ 时 ｙ′ > ０ꎬ∴ 函数在 ｘ ＝ － １ 时取得 极小值 － １ ｅ ꎬ又 ｙ′ ｜ ｘ ＝ － １ ＝ ０ꎬ∴ 所求切线方 程为 ｙ ＝ － １ ｅ . １２. － １　 由 ｆ( ｘ) ＝ ( ｘ２ ＋ ｘ ＋ ｍ) ｅｘ ꎬ得 ｆ ′( ｘ) ＝ (ｘ２ ＋ ３ｘ ＋ ｍ ＋ １) 􀅰ｅｘ. 若在 ｘ ＝ － ３ 处函数 ｆ(ｘ)有极大值ꎬ则 ｆ′( － ３) ＝ ０ꎬ解得 ｍ ＝ － １ꎬ 故 ｆ( ｘ) ＝ ( ｘ２ ＋ ｘ － １) ｅｘ ꎬｆ ′( ｘ) ＝ ( ｘ２ ＋ ３ｘ) ｅｘ. 令 ｆ ′( ｘ) > ０ꎬ 解得 ｘ > ０ 或 ｘ < － ３ꎻ 令 ｆ′(ｘ) < ０ꎬ解得 － ３ < ｘ < ０. 故 ｆ( ｘ) 在( － ∞ ꎬ － ３)上单调递增ꎬ在( － ３ꎬ０) 上单调递减ꎬ在 (０ꎬ ＋ ∞ )上单调递增ꎬ故 ｆ(ｘ) 极小值 ＝ ｆ(０) ＝ － １. １３. [解析]　 (１)ｆ′(ｘ) ＝ ｅｘ ＋ ２ｘ － ｍꎬ∴ ｆ′(１) ＝ ｅ ＋ ２ － ｍꎬ由条件知 ｅ ＋ ２ － ｍ ＝ ｅ ＋ １ꎬ解得 ｍ ＝ １ꎬ故实数 ｍ 的值为 １. (２)ｆ′(ｘ) ＝ ｅｘ ＋ ２ｘ － １ 为增函数且 ｆ ′(１) ＝ ｅ ＋ １ > ０ꎬ ｆ′( － １) ＝ ｅ － １ － ３ < ０ꎬ ∴ 在 区 间 ( － １ꎬ１)上存在 ｘ０ 使 ｆ′(ｘ０ ) ＝ ０ꎬ∴ 函数 ｆ(ｘ) 在区间[ － １ꎬｘ０ ] 上单调递减ꎬ在区间[ ｘ０ ꎬ１] 上单 调 递 增ꎬ ∴ ｆ ( ｘ) ｍａｘ ＝ ｍａｘ { ｆ ( － １ )ꎬ ｆ(１) }ꎬ 又 ｆ ( － １ ) ＝ ｅ － １ ＋ ２ꎬ ｆ(１) ＝ ｅꎬ ∴ ｆ(ｘ) ｍａｘ ＝ ｅ. 故 ｆ(ｘ)在[ － １ꎬ１] 上的最大值 为 ｅ. １４. [ 解 析] 　 ｆ ′ ( ｘ ) ＝ ａ ( １ ＋ １ ｘ２ ) － ２ ｘ ＝ ａｘ２ － ２ｘ ＋ ａ ｘ２ ꎬ其中方程 ａｘ２ － ２ｘ ＋ ａ ＝ ０ 的根的 判别式 Δ ＝ ４ － ４ａ２ ꎬ故当 ａ≥１ 时ꎬｆ(ｘ) 在(０ꎬ ＋ ∞ )上单调递增ꎬ当 ０ < ａ < １ 时ꎬｆ(ｘ)在(０ꎬ １ － １ － ａ２ ａ ) 递 增ꎬ 在 ( １ － １ － ａ ２ ａ ꎬ １ ＋ １ － ａ２ ａ )递减ꎬ在(１ ＋ １ － ａ ２ ａ ꎬ ＋ ∞ )上 递增. (２)证明:由(１)知 ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ ２ ａ ꎬｘ１ ｘ２ ＝ １ꎬ ∴ ｆ(ｘ１ ) ＋ ｆ(ｘ２ ) ＝ ａ(ｘ１ － １ ｘ１ ) － ２ｌｎ ｘ１ ＋ ａ(ｘ２ － １ ｘ２ ) － ２ｌｎ ｘ２ ＝ ａ( ｘ１ ＋ ｘ２ ) － ａ(ｘ１ ＋ ｘ２ ) ｘ１ ｘ２ － ２ｌｎ(ｘ１ ｘ２ ) ＝ ａ􀅰 ２ ａ － ａ􀅰 ２ ａ １ － ２ｌｎ １ ＝ ０. Ｂ 组能力提升 １. Ａ　 由图可知 ｘ < － ３ 时ꎬｆ ′( ｘ) < ０ꎬｘ∈( － ３ꎬ ２)时ｆ′(ｘ) > ０ꎬ∴ － ３ 是 ｆ( ｘ) 的极小值点. ① 正确ꎻ又 ｘ∈( － ３ꎬ１)时 ｆ ′(ｘ) ≥０ꎬ∴ ｆ(ｘ) 在区 间( － ３ꎬ１)上单调递增ꎬ④正确ꎬ故选 Ａ. ２. Ｂ　 函数的极值点即导函数的零点ꎬｆ ′( ｘ) ＝ ｘ ＋ ｌｎｘ ＋ １ － ３ ＝ ｘ ＋ ｌｎｘ － ２ꎬ则 ｆ ′(１) ＝ － １ < ０ꎬ ｆ′(２) ＝ ｌｎ２ > ０ꎬ由零点存在性定理得 ｆ ′( ｘ) 的 零点在(１ꎬ２)上ꎬ故选 Ｂ. ３. Ａ　 ｆ′(ｘ) ＝ １ ｘ ＋ ａ ｘ２ ＝ ｘ ＋ ａ ｘ２ 若 ａ≥０ꎬ则 ｆ′(ｘ) > ０ꎬｆ(ｘ)在[１ꎬｅ]上递增ꎬ ｆｍｉｎ (ｘ) ＝ ｆ(１) ＝ － ａ ＝ ３ ２ ꎬ则 ａ ＝ － ３ ２ ꎬ矛盾. 若 ａ < ０ꎬ则由 ｆ′(ｘ) ＝ ０ 得 ｘ ＝ － ａ. 若 １ < － ａ < ｅꎬ即 － ｅ < ａ < － １ꎬ则 ｆｍｉｎ ( ｘ) ＝ ｆ( － ａ) ＝ ｌｎ( － ａ) ＋ １ ＝ ３ ２ ꎬ解得 ａ ＝ － ｅꎬ符 合题意ꎬ故选 Ａ. 事实上ꎬ若 － ａ≥ｅꎬ即 ａ≤ － ｅꎬｆ ′(