3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数（正文）-2021高考理科数学【衡中学案】1轮总复习（全国版）

故 ａ 的取值范围为[ － ９ ２ ꎬ ＋ ∞ ). ３. [解析]　 (１)ｆ(ｘ)的定义域为(０ꎬ ＋ ∞ )ꎬ 由已 知ꎬ 得 ｆ ′ ( ｘ ) ＝ ｘ ＋ １ － ａ － ａ ｘ ＝ ｘ２ ＋ (１ － ａ)ｘ － ａ ｘ ＝ (ｘ ＋ １)(ｘ － ａ) ｘ . 若 ａ≤０ꎬ则 ｆ′(ｘ) > ０ꎬ此时 ｆ(ｘ)在(０ꎬ ＋ ∞ )上 单调递增. 若 ａ > ０ꎬ则由 ｆ′(ｘ) ＝ ０ꎬ得 ｘ ＝ ａ. 当 ０ < ｘ < ａ 时ꎬｆ′(ｘ) <０ꎻ当 ｘ > ａ 时ꎬｆ′(ｘ) >０. 此时 ｆ(ｘ)在(０ꎬａ)上单调递减ꎬ在(ａꎬ ＋ ∞ )上 单调递增. (２)令 ｇ(ｘ) ＝ ｆ(ａ ＋ ｘ) － ｆ( ａ － ｘ)ꎬ则 ｇ(ｘ) ＝ １ ２ (ａ ＋ ｘ)２ ＋ (１ － ａ) ( ａ ＋ ｘ) － ａｌｎ( ａ ＋ ｘ) － [ １ ２ (ａ － ｘ)２ ＋ (１ － ａ) ( ａ － ｘ) － ａｌｎ( ａ － ｘ)] ＝ ２ｘ － ａｌｎ(ａ ＋ ｘ) ＋ ａｌｎ(ａ － ｘ). 所以 ｇ′(ｘ) ＝ ２ － ａ ａ ＋ ｘ － ａ ａ － ｘ ＝ － ２ｘ ２ ａ２ － ｘ２ . 当 ０ < ｘ < ａ 时ꎬｇ′(ｘ) < ０ꎬ所以 ｇ( ｘ) 在(０ꎬａ) 上是减函数. 而 ｇ(０) ＝ ０ꎬ所以 ｇ(ｘ) < ｇ(０) ＝ ０. 故当 ０ < ｘ < ａ 时ꎬｆ(ａ ＋ ｘ) < ｆ(ａ － ｘ). ４. [解析]　 (１)函数 ｆ(ｘ)的定义域为(０ꎬ ＋ ∞ )ꎬ ｆ′(ｘ) ＝ ａ ｘ ＋ ２ｘ － ４ ＝ ２ｘ ２ － ４ｘ ＋ ａ ｘ . ∵ ｘ ＝ ３ 是函数 ｆ(ｘ)的一个极值点ꎬ ∴ ｆ′(３) ＝ ０ꎬ解得 ａ ＝ － ６. 经检验 ａ ＝ － ６ 时ꎬｘ ＝ ３ 是函数 ｆ(ｘ) 的一个极 小值点ꎬ符合题意ꎬ∴ ａ ＝ － ６. (２)由 ｆ( ｘ０ ) ≤ｇ ( ｘ０ )ꎬ得 ( ｘ０ － ｌｎ ｘ０ ) ａ ≥ ｘ ２ ０ － ２ｘ０ ꎬ 记 Ｆ(ｘ) ＝ ｘ － ｌｎ ｘ(ｘ > ０)ꎬ ∴ Ｆ′(ｘ) ＝ ｘ － １ ｘ (ｘ > ０)ꎬ ∴ 当 ０ < ｘ < １ 时ꎬＦ′(ｘ) < ０ꎬＦ(ｘ)单调递减ꎻ 当 ｘ > １ 时ꎬＦ′(ｘ) > ０ꎬＦ(ｘ)单调递增. ∴ . Ｆ(ｘ) > Ｆ(１) ＝ １ > ０ꎬ∴ ａ≥ ｘ２０ － ２ｘ０ ｘ０ － ｌｎ ｘ０ . 记 Ｇ(ｘ) ＝ ｘ ２ － ２ｘ ｘ － ｌｎ ｘ ꎬｘ∈[ １ ｅ ꎬｅ]. ∴ Ｇ′(ｘ) ＝ (２ｘ － ２)(ｘ － ｌｎ ｘ) － (ｘ － ２)(ｘ － １) (ｘ － ｌｎ ｘ)２ ＝ (ｘ － １)(ｘ － ２ｌｎ ｘ ＋ ２) (ｘ － ｌｎ ｘ)２ . ∵ ｘ∈[ １ ｅ ꎬｅ]ꎬ∴ ２ － ２ｌｎ ｘ ＝ ２(１ － ｌｎ ｘ)≥０ꎬ ∴ ｘ － ２ｌｎ ｘ ＋ ２ > ０ꎬ∴ ｘ∈( １ ｅ ꎬ１) 时ꎬＧ′(ｘ) < ０ꎬＧ(ｘ)单调递减ꎻ ｘ∈(１ꎬｅ)时ꎬＧ′(ｘ) > ０ꎬＧ(ｘ)单调递增. ∴ Ｇ(ｘ) ｍｉｎ ＝ Ｇ(１) ＝ － １ꎬ∴ ａ≥Ｇ(ｘ) ｍｉｎ ＝ － １. 故实数 ａ 的取值范围为[ － １ꎬ ＋ ∞ ). ５. [解析]　 (１)ｆ′(ｘ) ＝ ｘｅｘ － ２ａｘ ＝ ｘ(ｅｘ － ２ａ). 当 ａ≤０ 时ꎬｆ( ｘ) 在( － ∞ ꎬ０) 上单调递减ꎬ在 (０ꎬ ＋ ∞ )上单调递增ꎬ∴ ｆ(ｘ)有 １ 个极值点ꎻ 当 ０ < ａ < １ ２ 时ꎬｆ(ｘ)在( － ∞ ꎬｌｎ２ａ)上单调递 增ꎬ在(ｌｎ２ａꎬ０)上单调递减ꎬ在(０ꎬ ＋ ∞ ) 上单 调递增ꎬ∴ ｆ(ｘ)有 ２ 个极值点ꎻ 当 ａ ＝ １ ２ 时ꎬｆ(ｘ) 在 Ｒ 上单调递增ꎬ∴ ｆ(ｘ) 没 有极值点ꎻ 当 ａ > １ ２ 时ꎬｆ(ｘ) 在( － ∞ ꎬ０) 上单调递增ꎬ在 (０ꎬｌｎ２ａ)上单调递减ꎬ在( ｌｎ２ａꎬ ＋ ∞ ) 上单调 递增ꎬ∴ ｆ(ｘ)有 ２ 个极值点ꎻ 综上ꎬ当 ａ≤０ 时ꎬｆ(ｘ) 有 １ 个极值点ꎻ当 ａ > ０ 且 ａ≠ １ ２ 时ꎬｆ(ｘ)有 ２ 个极值点ꎻ当 ａ ＝ １ ２ 时ꎬ ｆ(ｘ)没有极值点. (２)由 ｆ(ｘ) ＋ ｅｘ≥ｘ３ ＋ ｘ 得 ｘｅｘ － ｘ３ － ａｘ２ － ｘ≥０. 当 ｘ > ０ 时ꎬｅｘ － ｘ２ － ａｘ － １≥０ꎬ 即 ａ≤ｅ ｘ － ｘ２ － １ ｘ 对∀ｘ > ０ 恒成立. 设 ｇ ( ｘ ) ＝ ｅ ｘ － ｘ２ － １ ｘ ꎬ 则 ｇ′ ( ｘ ) ＝ (ｘ － １)(ｅ ｘ － ｘ － １) ｘ２ . 设 ｈ(ｘ) ＝ ｅｘ － ｘ － １ꎬ则 ｈ′(ｘ) ＝ ｅｘ － １. ∵ ｘ >