高考大题规范解答系列(一)一函数与导数（正文）-2021高考理科数学【衡中学案】1轮总复习（全国版）

１３. π ＋ ２　 ∫ ２ ０ ( ４ － ｘ２ ＋ ｘ) ｄｘ ＝ ∫ ２ ０ ４ － ｘ２ ｄｘ ＋ ∫ ２ ０ ｘｄｘꎬ其中 ∫ ２ ０ ４ － ｘ２ ｄｘ 表示半径为 ２ 的 圆的面积的 １ ４ ꎬ ∫ ２ ０ ４ － ｘ２ ｄｘ ＝ １ ４ π × ２２ ＝ πꎬ ∫ ２ ０ ｘｄｘ ＝ １ ２ ｘ２ ｜２０ ＝２ꎬ因此原式等于 π ＋２. １４. １ ４ 　 ∫ １ ０ ｆ ( ｘ) ｄｘ 是一个常数ꎬ 设 为 ｃꎬ 则 有 ｆ(ｘ) ＝ ｘ － ｃꎬ所以 ｘ － ｃ ＋ ∫ １ ０ (ｘ － ｃ) ｄｘ ＝ ｘꎬ解 得 ｃ ＝ １ ４ . 故 ∫ １ ０ ｆ(ｘ)ｄｘ ＝ １ ４ . Ｂ 组能力提升 １. Ｂ　 依题意ꎬ在同一坐标系下画出曲线 ｙ ＝ ｘ２ ＋ ２ 与直线 ｙ ＝ ｘ ＋ ２ 的图象( 图略)ꎬ注意到它们 的交点坐标分别为(０ꎬ２) 与(１ꎬ３)ꎬ结合图形 及定积分的几何意义可知ꎬ所围成的封闭图形 的面积可用定积分表示为 ∫ １ ０ ( ｘ － ｘ２ ) ｄｘꎬ故 选 Ｂ. ２. Ｂ　 ∫ ５ ０ (２ｘ２ － ４)ｄｘ ＝ ( ２ ３ ｘ３ － ４ｘ) ｜５０ ＝ ２ ３ × １２５ －２０≠１ꎬ ∫ π ０ １ ２ ｓｉｎｘｄｘ ＝ － １ ２ ｃｏｓｘ ｜ π０ ＝ － １ ２ × ( － １ － １) ＝ １ꎬ ∫ ３ １ １ ｘ ｄｘ ＝ ｌｎｘ ｜３１ ＝ ｌｎ３ ≠ １ꎬ ∫ π ２ ０ ２ｃｏｓｘｄｘ ＝２ｓｉｎｘ ｜ π ２ ０ ＝２. 故选 Ｂ. ３. Ｂ　 由图象可知ꎬｎ ＝ ３ꎬｍ ＝ ２. 所以 ∫ １ ０ ｆ(ｘ) ｄｘ ＝ ∫ １ ０ (ｘ２ － ３ｘ ＋ ２)ｄｘ ＝ ( １ ３ ｘ３ － ３ ２ ｘ２ ＋ ２ｘ) ｜ １０ ＝ ５ ６ . ４. Ｄ　 ∵ ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ 与 ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ 的图象在(０ꎬπ) 内 的交 点 为 ( π ４ ꎬ ２ ２ )ꎬ ∴ 阴 影 部 分 面 积 为 ∫ π ４ ０ (ｃｏｓ ｘ － ｓｉｎ ｘ) ｄｘ ＋ ∫ ππ ４ (ｓｉｎ ｘ － ｃｏｓ ｘ)ｄｘ ＝ (ｓｉｎ ｘ ＋ ｃｏｓ ｘ) π ４ ０ ＋ ( － ｃｏｓ ｘ － ｓｉｎ ｘ) π π ４ ＝ ( ２ ２ ＋ ２ ２ － １) ＋ (１ ＋ ２ ２ ＋ ２ ２ ) ＝ ２ ２ ꎬ 故 选 Ｄ. ５. Ｃ　 ｆ(２０１９) ＝ ｆ(２０１９ － ５ × ４０３) ＝ ｆ(４) ＝ ｆ(４ － ５ ) ＝ ｆ ( － １ ) ＝ ２ － １ ＋ ∫ π ６ ０ ｃｏｓ３ｔｄｔ. 因 为 ( １ ３ ｓｉｎ３ｔ)′ ＝ ｃｏｓ３ｔꎬ 所 以 ∫ π ６ ０ ｃｏｓ３ｔｄｔ ＝ １ ３ ｓｉｎ３ｔ ｜ π ６ ０ ＝ １ ３ ( ｓｉｎ π ２ － ｓｉｎ０ ) ＝ １ ３ ꎬ 所 以 ｆ(２０１９) ＝ ２ － １ ＋ １ ３ ＝ ５ ６ . 故选 Ｃ. 高考大题规范解答系列(一) ———函数与导数 [变式训练 １] 　 [解析]　 (１)ａ ＝ ２ 时ꎬｆ(ｘ) ＝ ｌｎ ｘ － ２ ｘ － ｘꎬ ｆ′(ｘ) ＝ １ ｘ ＋ ２ ｘ２ － １ꎬ ｆ(２) ＝ ｌｎ ２ － ３ꎬｆ′(２) ＝ ０ꎬ 所以曲线在点(２ꎬｆ(２)) 处的切线方程为 ｙ ＝ ｌｎ ２ － ３. (２)ｆ′(ｘ) ＝ ａ － １ ｘ ＋ ａ ｘ２ － １ ＝ － (ｘ ＋ １)(ｘ － ａ) ｘ２ (１≤ｘ≤３)ꎬ 当 ａ≤１ 时ꎬｆ ′( ｘ) ≤０ꎬｆ( ｘ) 在[１ꎬ３] 上单调 递减ꎬ 所以 ｆ(１) ＝ － ２ꎬａ ＝ １ꎻ 当 ａ≥３ 时ꎬｆ ′( ｘ) ≥０ꎬｆ( ｘ) 在[１ꎬ３] 上单调 递增ꎬ 所以 ｆ(３) ＝ － ２ꎬａ ＝ ｌｎ ３ ＋ １ ｌｎ ３ － １ ３ < ３ꎬ舍去ꎻ 当 １ < ａ < ３ 时ꎬｆ( ｘ) 在(１ꎬａ) 上单调递增ꎬ在 (ａꎬ３)上单调递减ꎬ 所以 ｆ(ａ) ＝ － ２ꎬａ ＝ ｅ. 综上ꎬａ ＝ １ 或 ａ ＝ ｅ. [变式训练 ２] 　 [解析]　 (１)∵ ｆ′(ｘ) ＝ １ ｘ ＋ ｘ － ａ(ｘ > ０)ꎬ 又 ｆ(ｘ)在(０ꎬ ＋ ∞ )上单调递增ꎬ 所以恒有 ｆ′(ｘ)≥０ꎬ即 １ ｘ ＋ ｘ － ａ≥０(ｘ > ０)恒 成立ꎬ ∴ ａ≤ ( ｘ ＋ １ ｘ ) ｍｉｎꎬ 而 ｘ ＋ １ ｘ ≥２ ｘ􀅰 １ ｘ ＝ ２ꎬ 当且仅当 ｘ ＝ １ 时取等号ꎬ∴ ａ≤２. 即函数 ｆ(ｘ)在(０ꎬ ＋ ∞ )上为单调增函数时ꎬａ 的取值范围是( － ∞ ꎬ２]. (２)ｆ(ｘ２ ) － ｆ( ｘ１ ) ＝ ｌｎ ｘ２ ｘ１ ＋ １ ２ ( ｘ２２ － ｘ ２ １ ) － ａ (ｘ２ － ｘ１ )ꎬ 又∵ ｆ′(ｘ