考点10 圆锥曲线（考点专练）-2021年数学高考高分直通车（上海专用）

考点10 圆锥曲线 椭圆 一、单选题 1．（2020·上海高三专题练习）已知曲线 和直线 ( 为非零实数)在同一坐标系中，它们的图形可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】考点：直线与圆锥曲线的关系． 分析：可以以直线的方程为主进行讨论，根据直线的位置关系得出参数a，b的符号，再由此关系判断曲线的形状，不出现矛盾者即是所求的正确选项 解：A选项中，直线的斜率大于0，故系数a，b的符号相反，此时曲线应是双曲线，故不对； B选项中直线的斜率小于0，故系数a，b的符号相同且都为负，此时曲线不存在，故不对； C选项中，直线斜率为正，故系数a，b的符号相反，且a正，b负，此时曲线应是焦点在x轴上的双曲线，图形符合结论，可选； 选项中不正确，由C选项的判断可知D不正确．故选C 二、填空题 2．（2021·上海高三专题练习）已知F1，F2是椭圆C： 的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且 ，若 的面积为9，则 ________． 【答案】3 【分析】设 ，由椭圆的定义得到 ，根据 ，得到 ， 进而求得 ，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】设 ，由椭圆的定义可得 ， 又由 ，可得 ， 可得 ，即 ， 所以 的面积为 ， 又因为 的面积为9，即 ，解得 .故答案为： 3．（2020·上海青浦区·复旦附中青浦分校高三开学考试）在在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是椭圆 上的两个动点，动点P满足 ，直线 与直线 斜率之积为-2，已知平面内存在两定点 、 ，使得 为定值，则该定值为_______________. 【答案】 【分析】先设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），利用坐标表示求动点P轨迹方程，最后根据椭圆定义求结果. 【详解】设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2）， 则由 ，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2），即x=2x1-x2，y=2y1-y2， ∵点M，N在椭圆 上，所以 ， ， 故2x2+y2=（8x12+2x22-8x1x2）+（4y12+y22-4y1y2）=20-4（2x1x2+y1y2）， 设k0M，kON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0MkON=-2， ∴y1y2+2 x1x2=0，∴2x2+y2=20，所以P在椭圆2x2+y2=20上； 设该椭圆的左，右焦点为F1，F2， 由椭圆的定义可推断出 为定值，该定值为 。故答案为： 【点睛】本题主要考查了椭圆定义及简单的几何性质．充分考查了用代数的方法来处理平面几何问题的手段． 4．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）已知点 为椭圆 的左焦点，点 为椭圆 上任意一点，点 为坐标原点，则 的最大值为________ 【答案】 【分析】设点 的坐标为 ，则 ，可得出 ，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得 的最大值. 【详解】设点 的坐标为 ，则 ，则 ，可得 ， 椭圆 的左焦点为 ， ， ， 则 ， 二次函数 在区间 上单调递增， 所以， .因此， 的最大值为 .故答案为： . 【点睛】本题考查椭圆中向量数量积最值的求解，考查了椭圆有界性以及二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题. 双曲线 一、单选题 1．（2020·上海高三专题练习）方程 表示双曲线，则实数 的取值范围为( ) A． B． 或 C． D． 或 【答案】D 【分析】根据双曲线的标准方程的结构特征，对分母正负分类讨论即可. 【详解】因为方程 表示双曲线， 所以 或 ，解得 或 .故选：D 【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，同时考查含绝对值不等式的解法及分类讨论思想，属于基础题. 2．（2019·上海浦东新区·华师大二附中高三三模）已知双曲线 （ ， ）的两条渐近线与抛物线 （ ）的准线分别交于 、 两点， 为坐标原点，若 ，△ 的面积为 ，则 （ 　 ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】求出双曲线的渐近线，利用三角形面积建立方程即可求解 【详解】由 ，即渐近线为 ，与抛物线的准线交于 ，所以 的面积为 ， 解得 。故选C 【点睛】本题考查抛物线，双曲线的几何性质，属于基础题型 二、填空题 3．（2021·上海高三专题练习）设 为双曲线 的右焦点， 为坐标原点， ､ 是以 为直径的圆与双曲线 渐近线的两个交点.若 ，则 ___________. 【答案】 【分析】由已知得出点 坐标，代入渐近线方程即可． 【详解】 由已知 可得 ，又点 在渐近线 上， 又 ， 4．（2020·上海青浦区·高三一模）点 是椭圆 与双曲线 的一个交点，点 是椭圆 的两个焦点，则 的值为___________. 【答案】 【分析】先判断出椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，设 ，不妨设 ，利