考点10 圆锥曲线（考点详解）-2021年高考数学高分直通车（上海专用）

考点10 圆锥曲线 圆锥曲线是平面几何的核心内容，是学习高等数学的基础；能很好地考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力等数学核心素养，历来都是高考的重点和热点；审视全国及部分省市试卷，每年高考数学都会有一道与圆锥曲线有关的解答题。而椭圆、双曲线、抛物线相关的综合题特别受到高考命题专家的青睐。数据分析近年高考数学试题，椭圆、双曲线、抛物线主要考查了其标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系、以圆锥曲线交叉汇合处为主干,构筑成知识网络型圆锥曲线问题等。其题型主要有填空题、选择题、解答题、以椭圆、双曲线、抛物线知识为载体，以向量与导数为工具，开放性与探索性问题等；解答题常与方程、不等式、数列、平面向量、导数等内容交叉渗透,自然地交汇在一起,使数学问题的解题目标与已知条件之间的跨度增大, 综合性较强，难度较大，题型新颖别致。 椭圆 1.椭圆的定义 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0) eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0) 图形 性质范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝eq \f(c,a)∈(0，1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 双曲线 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0： (1)若a<c时，则集合P为双曲线； (2)若a＝c时，则集合P为两条射线； (3)若a>c时，则集合P为空集. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0) eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0) 图　形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±eq \f(b,a)x y＝±eq \f(a,b)x 离心率 e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 抛物线 1.抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. (2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 性 质 顶点 O(0，0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0)) Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0)) Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))) Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))) 离心率 e＝1 准线方程 x＝－eq \f(p,2) x＝eq \f(p,2) y＝－eq \f(p,2) y＝eq \f(p,2)