考点09 直线与圆的方程（考点专练）-2021年高考数学高分直通车（上海专用）

考点09 直线与圆的方程 直线与方程 一、单选题 1．（2020·上海市建平中学高三月考）直线 的一个法向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线 的一个法向量 ，则 ，即可得出结果. 【详解】设直线 的一个法向量 ，则 ， 取 ，则 ，∴可取直线 的一个法向量为 ，故选：B. 【点睛】本题考查了法向量、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 2．（2020·上海高三专题练习）在坐标平面内，与点 距离为1，且与点 距离为2的直线共有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【详解】根据题意可知，所求直线斜率存在，可设直线方程为y＝kx＋b，即kx－y＋b＝0， 所以 ， ，解之得k＝0或 ， 所以所求直线方程为y＝3或4x＋3y－5＝0，所以符合题意的直线有两条，选B. 3．（2020·上海高三专题练习）若 ， 到直线 的距离分别为 ， ，则 ， 的大小关系是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用点到直线的距离公式结合三角函数有界性计算得到答案. 【详解】 ， ， ，故 .故选：A. 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，同角三角函数关系，三角函数最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 二、填空题 4．（2021·上海高三专题练习）若直线 的法向量与直线 的方向向量垂直，则实数 ___________. 【答案】 【分析】写出直线的法向量和方向向量，由向量垂直的坐标运算求出 ． 【详解】直线方程 即为 ，其法向量为 ， 直线 的方向向量为 ，由题意 ，解得 ． 故答案为： ． 5．（2020·上海黄浦区·格致中学高三期中）如果直线 将圆： 平分，且不经过第四象限，则 的斜率取值范围是_________. 【答案】 【分析】转化条件为直线 过圆心 ，结合直线斜率的概念数形结合即可得解. 【详解】圆： 可变为 ，由题意，直线 过圆心 ， 在平面直角坐标系中作出直线 ，如图； 当直线 过原点时，直线斜率 ，数形结合可得， 的斜率取值范围是 .故答案为： . 6．（2019·上海市奉贤区奉城高级中学高三期中）若直线 的方程为 EMBED Equation.DSMT4 ，则其倾斜角的取值范围是_____________________ 【答案】 【分析】由斜率与倾斜角的关系即可求得. 【详解】解： ，即 ， 直线的斜率 ， 即 ，设直线的倾斜角为 ，则 ， 即 ，故答案为： . 三、解答题 7．（2021·上海高三专题练习）双曲线 的实轴为 ，点 是双曲线上的一个动点，引 ， ， 与 的交点为 ，求点 的轨迹方程. 【答案】 【分析】 设 ， ， ， ，由已知条件可得 ，即 ，又点 在双曲线上，代入可得 ，即为点 的轨迹方程. 【详解】 设 ， ， ， ， 由题意可知 ， ，否则点 （或点 ）和点 （或点 ）重合，不符合题意； ， ， 利用垂直斜率关系可得 ，两式相乘得 ① 又点 在双曲线 上， ，即 将其代入①式得 ，化简整理得： 所以点 的轨迹方程为： 【点睛】方法点睛：本题考查求动点的轨迹方程，求曲线的轨迹方程常用的方法： （1）直接法：如果题目中有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法； （2）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程； （3）代入法：如果轨迹点 依赖于另一动点 ，而 又在某已知曲线上，则可先列出关于 的方程组，利用 表示出 ，把 代入已知曲线方程即可得到动点 的轨迹方程； 8．（2021·上海高三专题练习）已知椭圆 ，试确定的 取值范围，使得对于直线 ，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称. 【答案】 取值范围为 【分析】根据对称性可知线段 被直线 垂直平分，从而可得直线 的斜率 ，直线 与椭圆有两个交点，且 的中点 在直线 ，可设直线 的方程为 ，联立方程组 ，整理可得 可求中点 ，由 可求 的范围，由中点 在直线 可得 ， 的关系，从而可求 的范围． 【详解】设椭圆上关于直线 对称的点 ， ， 则根据对称性可知线段 被直线 垂直平分，故直线 的斜率 ， 直线 与椭圆有两个交点，且 的中点 在直线 ， 故可设直线 的方程为 ，联立方程组 ， 整理可得 EMBED Equation.DSMT4 ， ， ，解得： ， ， ，代入 ，解得： ， EMBED Equation.DSMT4 ， 的取值范围是 ． 【点睛】方法点睛：本题重点考查了椭圆的基本性质、直线与椭圆的位置关系等知识，解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题，涉及弦中点的问题