考点08 立体几何（考点专练）-2021年高考数学高分直通车（上海专用）

考点08 立体几何 空间几何体的表面积、体积 一、单选题 1．（2020·上海高三专题练习）若 和 围成的封闭平面图形绕 轴旋转一周，则所得体积与绕 轴旋转一周所得体积之比是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥的体积计算以及组合体体积计算方法，计算出两个几何体体积，进而求得体积的比值. 【详解】由 解得 或 . 和 围成的封闭平面图形绕 轴旋转一周所得几何体为圆锥，图形如下图所示， 故体积为 . 和 围成的封闭平面图形绕 轴旋转一周所得几何体为圆柱挖掉两个圆锥，图形如下图所示， 故体积为 . 所以两个图形的体积比为 .故选：A 【点睛】本小题主要考查圆锥和组合体体积计算，属于中档题. 2．（2020·上海高三专题练习）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20 ，则r=（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】由几何体三视图中的正视图和俯视图可知， 截圆柱的平面过圆柱的轴线， 该几何体是一个半球拼接半个圆柱， ∴其表面积为： ， 又∵该几何体的表面积为16+20π， ∴ ，解得r=2， 本题选择B选项. 点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法． 二、填空题 3．（2020·上海市洋泾中学高三期中）表面积为 的球的体积为__________. 【答案】 【分析】先求出半径，再利用公式可求体积. 【详解】 ，故答案为： . 4．（2020·上海市松江二中高三期中）若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为______. 【答案】 【分析】根据体积可求正方体的棱长，而球的直径为正方体的体对角线，从而可求球的半径，利用公式可求其体积. 【详解】因为正方体的体积为8，故棱长为2，因此正方体的体对角线的长为 ， 故正方体外接球的直径为 ，所以半径为 ，故球的体积为 ，故答案为： . 5．（2020·上海高三专题练习）已知母线长为 的圆锥的侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的底面半径为________ ． 【答案】2 【分析】设底面半径为r，由两个面积的关系可得底面半径的值． 【详解】解：设底面半径为r，则由题意，可得 ，解得 ，故答案为：2． 【点睛】本题考查圆锥的侧面积及圆的面积公式，属于基础题． 6．（2020·上海市杨浦高级中学高三月考）圆锥的侧面积是底面积的3倍，若圆锥的母线长为3，则该圆锥的体积为___________.(结果保留 ) 【答案】 【分析】先设圆锥的底面半径为 ，表示出底面面积为 和侧面积为 ，接着求出 ，再求圆锥的高，最后求圆锥的体积即可. 【详解】解：设圆锥的底面半径为 ，则底面面积为 ，因为母线长为3，所以侧面积为 ， 因为圆锥的侧面积是底面积的3倍，所以 ，解得 ，所以圆锥的高为 ， 所以圆锥的体积为 ，故答案为： 【点睛】本题考查求圆锥的底面半径、圆锥的高、圆锥的体积，是基础题. 三、解答题 7．（2020·上海高三专题练习）如图，已知圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ，高为 ，底面半径为 . （1）求该圆锥的侧面积； （2）设 ､ 为该圆锥的底面半径，且 ， 为线段 的中点，求直线 与直线 所成的角的正切值. 【答案】（1） ；（2） . 【分析】（1）利用圆锥侧面积公式即可；（2）通过中点作辅助线即可． 【详解】解：（1） 底面 ，由题意高 ，底面半径 ，所以母线 圆锥的侧面积 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 （2）取 的中点为 ，因为 为 的中点 所以 ， 就是直线 与直线 所成的角． 因为 ， ，所以 平面 ， 平面 ， 在Rt△PNM中， ， ．所以 的正切值为 ． 即直线 与直线 所成的角正切值为 ． 8．（2020·上海高三专题练习）如图：在直三棱柱 中， ， ， ， 、 分别为棱 、 的中点． （1）求异面直线 与 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求五棱锥 的体积 ． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】（1）连接 ，利用中位线的性质可得出 ，由此可得出 （或其补角）就是异面直线 与 所成的角，利用解三角形的知识求出 的正切值，即可得解； （2）计算出五边形 的面积，并推导出 平面 ，再利用锥体的体积公式可计算出五棱锥 的体积 . 【详解】（1）连接 ， 、 分别为 、 的中点，所以， ， 于是 （或其补角）就是异面直线 与