1.3.3 函数的最大（小）值与导数-2020-2021学年高二数学（理）课时同步练（人教A版选修2-2）

课时同步练 1.3.3 函数的最大（小）值与导数 一、单选题 1．函数在上的最小值为（ ） A．-2 B．0 C． D． 【答案】D 【解析】由题意，函数，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以函数在区间上的最小值为， 故选D． 2．函数，的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以，易得当时，恒成立，所以在闭区间内单调递减，故当时，取最大值，即， 故选A． 3．已知函数，函数在上的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数，则， 显然在上，故函数单调递增， 故 故选D 4．若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（ ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为不等式对于一切恒成立， 所以对一切恒成立， 所以， 又因为在上单调递减，所以， 所以，所以的最小值为， 故选C. 5．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，设，. 当时，，为增函数； 当时，，为减函数,且. 所以有最大值，简图如下， 由图可知，时符合题意. 故选C. 6．已知函数有最小值，则函数的零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 【答案】C 【解析】由题意，， 因为函数有最小值，且， 所以函数存在单调递减区间，即有解， 所以有两个不等实根， 所以函数的零点个数为2. 故选C. 7．若存在，使得不等式成立，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 设，则 当时，，单调递减 当时，，单调递增 存在，成立 ， ， 故选 8．若定义域为的偶函数满足，且当时，，则函数在上的最大值为（ ） A．1 B． C． D．－ 【答案】A 【解析】根据,得函数关于点(1,0)对称,且当时, , 则时，， 所以当时，;又函数为偶函数, 所以当时， 则, 可知当，故在[-2，0)上单调递增, 时，在[0,2]上单调递减,故. 故选A 9．已知存在正实数，满足，则实数的取值范围是（ ） A． B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】已知存在正实数，满足， 则有解， 令，则， ，， 则， 又易得为增函数， 又， 当时，，当时，， 所以在为减函数，在为增函数， 所以， 即的值域为， 即， 即实数的取值范围是， 故选C． 10．已知点为曲线上的动点，为圆上的动点，则的最小值是（ ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【解析】（方法一）设，并设点A到圆的圆心C距离的平方为，则，求导，得 ，令，得. 由时，，单调递减； 当时，，单调递增. 从而在时取得最小值为，从而点A到圆心C的最小值为，所以的最小值为. 故选A （方法二）由对勾函数的性质，可知，当且仅当时取等号，结合图象可知当A点运动到时能使点A到圆心的距离最小，最小为4，从而的最小值为. 故选A 11．已如函数，若，且，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，画出分段函数图象如下： 由两个函数图象及题意，可知：不可能同时大于1，也不可能同时小于1． 否则不满足 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，． 构造函数，． 则． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴在上是单调递增函数． ∴． ∴． ∴． 故选C． 12．已知对于任意的，总有成立，其中为自然对数的底数，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得， 设， 由得， 当时，，所以函数f(x)在上单调递增，在上单调递减， 所以 所以， 所以， 设， 所以，所以函数在（0,1）单调递减，在（1，﹢∞）单调递增， 所以. 所以此时的最小值为. 当时，函数f(x)单调递增，不符合题意. 故选A 二、填空题 13．已知函数，则的最大值为____________． 【答案】 【解析】 则函数在上单调递增，在上单调递减 即 故填 14．已知函数，当（e为自然常数），函数的最小值为3，则的值为_____________. 【答案】 【解析】，， 当时，则，在上是减函数， ，（舍去）． 当时，当时，，递减，当时，，递增．∴，，符合题意． 故填． 15．已知（为常数）在上有最小值3，那么此函数在上的最大值为_________. 【答案】43. 【解析】， , 令，解得或， 当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减， 所以在时有极小值，也是上的最小值， 即， 函数在上的最大值在或时取得， ， 函数在上的最大值为43. 故填43 16．函数，，当时，对任意、，都有成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】求出函数的导数，通过题中所给的大的范围，可以确定函数在相