专题07 利用导数研究函数的单调性-2021年高考数学二轮提升专题攻略（文理通用）

专题07利用导数研究函数的单调性 一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意得，函数的定义域为， ． 令，得，解得， 故函数的单调递减区间为．故选：D 2．已知在上递增，则实数的范围是（ ）． A． B． C． D． 【解析】由已知可得在上满足，即在上恒成立，由于在上的最小值为时取得，最小值为3，，故选：D. 3．已知实数x、y满足，则（ ） A． B． C． D．x、y大小不确定 【解析】设，所以， 所以函数在上单调递增，由题得，所以.故选：C 4．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意可得：在上恒成立， 整理可得：，函数在上递减， 所以，所以，故选：C. 5．已知函数的单调递减区间为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【解析】由题得的解集为， 所以不等式的解集为，所以，故选：B 6．已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】∵，在内不是单调函数， 故在存在变号零点，即在存在零点，∴.故选：A. 7．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为( ) A． B． C． D． 【解析】令， 因为对任意，， 所以，即在上单调递减， 又因为，所以， 由，可得，即， 所以，即不等式的解集为． 故选：A． 8．函数的定义域为R，，对任意，，则的解集为（ ） A． B． C． D． 【解析】设，所以为减函数，又，所以根据单调性的解集是 9．已知是定义在上的函数的导函数，且满足对任意的都成立，则下列选项中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【解析】令，则，故为上的增函数， 所以即，故选：D. 10．设是定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式(为自然对数的底数)解集为（ ） A． B． C． D． 【解析】令，因为， 所以，所以在R上递增，又， 所以，不等式，转化为， 即，所以，故选：C 11．设函数.若不等式对恒成立，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【解析】由不等式对恒成立， 即为，即对恒成立， 设，由， 可得在上递增，且， 当时，；，， 作出的图象，再设， 可得表示过，斜率为的一条射线（不含端点）， 要求的最大值，且满足不等式恒成立，可得的最大值， 由于点在轴上移动，只需找到合适的，且切于点，如图所示： 此时，即的最大值为.故选：D 12．已知函数在定义域上是单调函数，且，当在上与在上的单调相同时，实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】函数在定义域上是单调函数，且， 为定值，设，则，且， ，解之得，，在上的单调递增， ，， 在上与在上的单调性相同， 在上恒成立， 在上恒成立，， ，，.故选：C 二．填空题 13．若函数的单调递减区间为，则_________． 【解析】由题意，所以的两根为和3， 所以，所以，． 14．已知函数在上不单调，则的取值范围是________. 【解析】函数，， 函数在，上不单调，在，上有解 在，上有解，在，上有解， 或且且且△， 或，而，故答案为：． 15．的定义域为，是导函数，且满足，若是偶函数，，则不等式的解集为__________. 【解析】构造函数，该函数的定义域为， 由于函数为偶函数，则，所以，函数为偶函数.， 当时，，则，所以，函数在上为增函数，，可得，由可得，即， 所以，，，解得或. 因此，不等式的解集为. 16．已知函数的导函数为，对任意，恒有，，，，则，，的大小关系是_________. 【解析】因为， 所以为增函数.所以，即， 即. 三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知函数． （1）函数的单调区间； （2）当时，证明：当时，． 【解析】（1）根据题意知，， 当时，当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 同理，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，，不是单调函数，无单调区间． （2）证明：当时，， 所以，由（1）知在上单调递增， 所以当时，．即，所以． 18．已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）证明：当时，.参考数据：. 【解析】（1）由题意得 ①当时，恒成立，故函数在单调递增 ②当时，由得，由得， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. 综上：当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）当时，，等价于， 令则， 由得，由得， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减 所以，因为，所以， 令则，由得，由得，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，要证即证， 即证，两边同乘