专题15 函数中恒成立与存在性问题-2021年高考数学二轮经典专题深度解读

专题15 函数中恒成立与存在性问题 方法一 分离参数法 ▲ 题型解读： 不等式恒成立问题中常常伴随着参数情况，参数是否可以分离成了解决问题的关键，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其他变量完全分离出来，并且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法。 ▲ 基本步骤: ①将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式； ②求在上的最大（或最小）值； ③解不等式(或)，得的取值范围. 5．已知函数的图象在点处的切线斜率为，其中为自然对数的底数． （1）求实数的值，并求的单调区间； （2）证明：． 【答案】（1），函数的单调递减区间，函数单调递增区间；（2）证明见解析. 【解析】（1）函数的定义域为.，由题意可得，e，故a，. 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）证明：设，则. 当x时，，函数单调递减，当x时，，函数单调递增，故. 设，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故. 综上可得，时，恒有，即． 2．已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为． （1）求实数的值； （2）若，且对任意恒成立，求的最大值． 【答案】（1）；（2）的最大值为． 【解析】（1），， 函数的图象在处的切线斜率为，， 即，因此，； （2）由（）知． 对任意恒成立，对任意恒成立， 令，则， 令，则， ，，在为增函数， ，， 存在，使， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. ， 故有对恒成立． ，，因此，的最大值为． 3．已知函数，其中为自然对数的底数． （1）若的图象在处的切线斜率为2，求； （2）若有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】（1）， ，∴． （2）由，得， 记，则， ，，递减；时，，递增． ∴． 而x→0时，时， 故． 方法二 构造函数法 构造函数可以用于解决不等式恒成立问题，常用的构造函数的方向有作差、利用可导性、拆解原函数等，目的是使构造出来的新的辅助函数更易判定其单调性，借此解决相关问题。 4．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构造新函数,，当时. 所以在上单减，又，即. 所以可得,此时， 又为奇函数，所以在上的解集为：. 故选A. 5．已知函数，，若对任意的总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】对任意的总有恒成立 ，对恒成立， 令， 可得 令，得 当， 当 ，， 故 令，得 当时， 当， 当时， 故选：C. 6．定义在上的函数满足（为自然对数的底数），其中为的导函数，若，则的解集为__________. 【答案】 【解析】∵， ∴构造函数， 则， ∴ ∴在上为减函数. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的解集的解集为 故答案为：. 方法三 函数性质法 利用函数性质求解恒成立问题，主要是利用函数单调性求解函数的最大、最小值。含参问题常见分类讨论情况如下： （1）∀x∈D，均有f(x)>A恒成立，则f(x)min>A； （2）∀x∈D，均有f(x)﹤A恒成立，则 f(x)max<A ； （3）∀x∈D，均有f(x) >g(x)恒成立，则F(x)= f(x)- g(x) >0，∴ F(x)min >0； （4）∀x∈D，均有f(x)﹤g(x)恒成立，则F(x)= f(x)- g(x) <0，∴ F(x) max <0； （5） ∀x1∈D，∀x2∈E，均有f(x1) >g(x2)恒成立，则f(x)min> g(x)max； （6）∀x1∈D，∀x2∈E，均有f(x1) <g(x2)恒成立，则f(x) max < g(x) min. 7．已知函数，如果存在唯一的，使得成立，则实数a的取值 范围是__________． 【答案】 【解析】令,做出图象如图： 存在唯一的，使得成立，即存在唯一的使得， 因为，，所以只需有唯一满足条件即可. 而，令得，易知 故只需满足解得， 或者当时亦符合条件，此时解不等式组得，综上所述或，故填. 8．已知函数与直线相切于点，若对任意，不等式恒成立，则所有满足条件的实数组成的集合为________ 【答案】 【解析】函数与直线相切于点， 可得方程，，可得方程， 联立方程组解得，，所以， 由得， 则，化简可得 ， 由此可得, 所有满足条件的实数组成的集合为. 所以本题答案为. 9．若函数对任意的恒成立，则 ． 【答案】 【解析】因为 ，所以函数为单调递增的奇函数，因此[，即，所以，所以 ，所以，即，解得 ． 方法四 数形结合法 在不等式恒成立问题中它同样起着重要的作用，如果不等式中涉及的函数、代数式对应