考点08 立体几何（考点详解）-2021年高考数学高分直通车（上海专用）

考点08 立体几何 从考试的视角看高考命题：其一重点考查学生的空间想象能力（与点、线、面位置关系的判定）；其二、重点考查学生的逻辑推理能力（平行与垂直的证明）；其三、重点考查学生的数学运算能力（面积体积、空间中的角度）；其中用向量法计算空间中的角与距离是考查的重点也是热点，既有空间想象能力的考查，也有空间关系的论证以及空间度量的计算；题型以解答题呈现，答题需要建立适当的直角坐标系，要求有较强的运算能力，广泛应用函数与方程、转化与化归的数学思想。 近几年试题难度多以中档题为主，也可能会作为客观题的压轴题；从大数据高考试卷评价分析来看客观题的得分率不如主观题的得分率。 一、空间几何体的表面积、体积 1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 2.直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 4.空间几何体的表面积与体积公式 　　名称 几何体　　　　 表面积 体积 柱　体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥　体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝eq \f(1,3)S底h 台　体 (棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h 球 S＝4πR2 V＝eq \f(4,3)πR3 空间中的平行关系 1.平行直线 (1)平行公理 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行. (2)基本性质4(空间平行线的传递性) 平行于同一条直线的两条直线互相平行. (3)定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等. 2.直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a⊄α，b⊂α， a∥b⇒a∥α 性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a⊂β， α∩β＝b⇒a∥b 3.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P， a∥β，b∥β⇒α∥β 性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β，α∩γ＝a， β∩γ＝b⇒a∥b 空间中的垂直关系 1.直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直. (2)直线与平面垂直的判定定理及其推论 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂α,b⊂α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))⇒l⊥α 推论1 如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,a⊥α))⇒b⊥α 推论2 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 eq \b\lc\ \rc\