考点07 不等式 （考点专练）-2021年高考数学高分直通车（上海专用）

考点07 不等式 等式与不等式的性质 一、单选题 1．（2020·上海高三专题练习）不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把分式不等式转化为整式不等式求解． 【详解】原不等式可化为 ，解得 ．故解集为 故选：B． 【点睛】易错点点睛：分式不等式转化为整式不等式求解要注意分式的分母不为0． 2．（2020·上海高三专题练习）已知 ，条件 ： ，条件 ： ，则 是 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】分别求两个命题下的集合，再根据集合关系判断选项. 【详解】 ，则 ， ，则 ，因为 ， 所以 是 的充分必要条件.故选：C 3．（2020·徐汇区·上海中学高三期中）若 且 ，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取 可否定AB；当 时可否定C；利用不等式基本性质可以证明D. 【详解】逐一考查所给的选项： 当 时， ，选项A错误； 当 时， ，选项B错误， 当 时， ，且 ，选项C错误； 由不等式的性质可知 ， ，选项D正确. 故选：D. 【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、填空题 4．（2020·上海高三专题练习）已知 且对任意 ，不等式 无解，当实数 取得最大值时，方程 的解得个数为__________. 【答案】322 【分析】根据余弦函数的二倍角公式将不等式 转化为 ，再令 则 ，可得不等式 在 无解，可得 ，解之可得 的最大值，再代入方程 中，可将方程化为 ，解之可得解的个数. 【详解】根据余弦函数的二倍角公式将不等式 转化为 即 ， 令 则 ，所以由题意得不等式 在 无解， 所以 ，解得 ，所以 的最大值为 ， 所以方程 化为 ，即 ， 所以 ，解得 ，所以整数 的个数有322个， 所以当实数 取得最大值时，方程 的解得个数为322. 故答案为：322. 【点睛】本题考查根据三角函数的二倍角公式转化，不等式在某个范围内的无解的条件和三角函数方程的求解，属于中档题. 5．（2020·上海市崇明中学高三期中）已知方程 的两个根为 ､ ，则 ___________. 【答案】 【分析】利用韦达定理代入求解即可. 【详解】由方程 的两个根为 ､ ，利用韦达定理得： ， .故答案为： . 6．（2020·上海市新场中学高三月考）已知函数 ，则关于 的方程 的实根的个数是___. 【答案】5 【分析】由方程得 或 ，结合分段函数 解析式，即可求实根 的个数. 【详解】由 知： 或 ， ∴由函数 解析式，知：当 时，有 ，解得 ，满足 ； 当 时，若 且 ，有 ；若 ，解得 ，满足 ； ∴综上知：方程一共有5个根.故答案为：5 【点睛】本题考查了由已知方程，结合分段函数解析式判断根的个数，属于简单题. 7．（2020·上海市复兴高级中学高三期中）若点 和 在直线 的同侧，则m的取值范围是______. 【答案】 【分析】两点在直线同侧，则将点代入直线方程后后符号相同，即乘积大于0，可构造关于 的不等式，解不等式即可. 【详解】解：点 和 在直线 的同侧， 则有 ，即 解得： 或 .故答案为： 8．（2020·上海市复兴高级中学高三期中）设集合 ，则集合 中有_____个元素. 【答案】3 【分析】解出集合 ，再利用集合间的基本运算即可求解. 【详解】解：由 ，解得： ， ， ， 即集合 中有 个元素.故答案为：3. 三、解答题 9．（2020·上海高三专题练习）设 表示不小于 的最小整数，例如 ． （1）解方程 ； （2）设 ， ，试分别求出 在区间 、 以及 上的值域；若 在区间 上的值域为 ，求集合 中的元素的个数； （3）设实数 ， ， ，若对于任意 都有 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ；（2）当 时，值域为 ；当 时，值域为 ；当 时，值域为 ； 个；（3） ． 【分析】（1）根据 的定义，列式解不等式；（2）根据定义分别列举 在区间 、 以及 上的值域，和 时函数的值域，最后利用等差数列求和；（3） 分别求两个函数的值域，并转化为 ，利用参变分离求实数 的取值范围. 【详解】【解】（1）由题意得： ，解得： ． （2）当 时， ，于是 ，值域为 当 时， ，于是 或 ，值域为 当 时， ，于是 或 或9，值域为 设 ，当 时， ，所以 的取值范围为 ，- 所以 在 上的函数值的个数为 ，- 由于区间 与 的交集为空集， 故 中的元素个数为 ．- （3）由于 ， ，因此 ，当 时取等号，即即 时， 的最大值为 ， 由题意得 时， 恒成立，当 时， 恒成立，因为 ，所以 当 时， 恒