专题05 切线问题-2021年新高考数学圆锥曲线专项练习

圆锥曲线中的切线问题 1．抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是( ) A． B． C． D． 2．抛物线上的点到直线距离的最小值是 （ ） A． B． C． D．3 3． 已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　　) A． B． C． D． 4．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的纵坐标为8，且. （1）求抛物线的方程； （2）若点是抛物线准线上的任意一点，过点作直线与抛物线相切于点，证明：. 5．已知椭圆的一个焦点为，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程. 试卷第1页，总3页 试卷第1页，总3页 参考答案 1．D 【分析】 设抛物线y=x2上一点为A（x0，x02），点A（x0，x02）到直线2x-y-4=0的距离由此能求出抛物线y=x2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短的点的坐标． 【详解】 设抛物线y=x2上一点为A（x0，x02）， 点A（x0，x02）到直线2x-y-4=0的距离 ∴当x0=1时，即当A（1，1）时，抛物线y=x2上一点到直线2x-y-4=0的距离最短． 故选D． 【点睛】 本题考查抛物线上的点到直线的距离最短的点的坐标的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 2．A 【解析】 为抛物线上任意一点. 则. ∴点P到直线的距离为 ∴. 数形结合法:设把已知直线平移到与抛物线相切,然后求出两条平行线间的距离即为所求的最小距离. 3．D 【解析】 试题分析：由于点在抛物线C：的准线上，所以，设直线AB的方程为，将与联立，即，则（负值舍去），将k=2代入得y=8，即可求出x=8，故B（8,8），所以，故选D. 考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.斜率公式. 4．(1) (2)详见解析 【分析】 (1) 由抛物线定义知，求出即可写出抛物线方程(2)设切点为，，利用导数求出切线方程，令求出，利用向量即可证明. 【详解】 （1）由题意可知，抛物线的准线方程为 又点的纵坐标为8，且｜PF｜=9，于是8+=9，所以 故抛物线的方程为 （2）设点M(m，-1)，，，因为，所以 切线方程为，即 令，可解得，所以 又所以， 所以 【点睛】 本题主要考查了抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线相切，利用向量证明垂直，属于中档题. 5．（1）；（2）. 【详解】 试题分析：（1）利用题中条件求出的值，然后根据离心率求出的值，最后根据、、三者的关系求出的值，从而确定椭圆的标准方程；（2）分两种情况进行计算：第一种是在从点所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为、，并由两条切线的垂直关系得到，并设从点所引的直线方程为，将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于的一元二次方程，利用得到有关的一元二次方程，最后利用以及韦达定理得到点的轨迹方程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点的坐标，并验证点是否在第一种情况下所得到的轨迹上，从而得到点的轨迹方程. （1）由题意知，且有，即，解得， 因此椭圆的标准方程为； （2）①设从点所引的直线的方程为，即， 当从点所引的椭圆的两条切线的斜率都存在时，分别设为、，则， 将直线的方程代入椭圆的方程并化简得， ， 化简得，即， 则、是关于的一元二次方程的两根，则， 化简得； ②当从点所引的两条切线均与坐标轴垂直，则的坐标为，此时点也在圆上. 综上所述，点的轨迹方程为. 考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线与二次曲线的公共点的个数利用的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用. 答案第1页，总2页 答案第1页，总2页 $$圆锥曲线中的切线问题 1．抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是( ) A． B． C． D． 2．抛物线上的点到直线距离的最小值是 （ ） A． B． C． D．3 3． 已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　　) A． B． C． D． 4．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点的纵坐标为8，且. （1）求抛物线的方程； （2）若点是抛物线准线上的任意一点，过点作直线与抛物线相切于点，证明：. 5．已知椭圆的一个焦点为，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程. 试卷第1页，总3页 试卷第1页，总3页 $$