专题03 中点弦问题-2021年新高考数学圆锥曲线专项练习

圆锥曲线的中点弦问题 一、单选题 1．已知椭圆的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为（1，-1），则G的方程为（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为 A． B． C． D． 3．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 A． B． C． D． 二、填空题 4．已知椭圆C的焦点（-2，0）、（2，0），且长轴长为6，设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标 5．设已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线与抛物线相交于A，B两点.若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_____________. 6．已知是抛物线的焦点，是上的两个点，线段AB的中点为，则的面积等于_______． 7．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于　_________　． 三、解答题 8．已知椭圆，求以点P(2，－1)为中点的弦所在的直线方程. 9．已知倾斜角为45°的直线l过点A(1,-2)和点B，B在第一象限，. （1）求点B的坐标； （2）若直线与双曲线相交于E,F两点，且线段EF的中点坐标为，求a的值. 10．已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为． （Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由． 11．设椭圆C：过点（0，4），离心率为. （1）求C的方程； （2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标． 12．（本小题满分12分） 平面直角坐标系中，过椭圆：右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为． （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）若，为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值． 13．设椭圆方程为，过点的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求： （1）动点P的轨迹方程； （2）的最小值与最大值. 14．若直线过抛物线的焦点，与抛物线交于两点，且线段的中点的横坐标为2，求线段的长． 15．已知点在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点重合(如图). （1）写出该抛物线的方程和焦点的坐标； （2）求线段中点的坐标； （3）求所在直线的方程. 试卷第1页，总3页 试卷第1页，总3页 参考答案 1．D 【分析】 设出两点的坐标，利用点差法求得的关系式，结合求得，进而求得椭圆的方程. 【详解】 设，则 ，两式相减并化简得， 即, 由于且，由此可解得， 故椭圆的方程为. 故选：D. 【点睛】 本小题主要考查点差法解决椭圆中的中点弦问题，属于基础题. 2．B 【解析】 ∵kAB==1, ∴直线AB的方程为y=x-3. 由于双曲线的焦点为F(3,0), ∴c=3,c2=9. 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0), 则-=1.整理,得 (b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2==2×(-12), ∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2. 又a2+b2=9, ∴a2=4,b2=5. ∴双曲线E的方程为-=1.故选B. 3．B 【解析】 ∵y2=2px的焦点坐标为, ∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B. 4． 【解析】 分析：先由已知求出椭圆的标准方程，再由直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，两方程联立，由韦达定理求得其中点坐标． 详解：由已知条件得椭圆焦点在x轴上， 其中c=2，a=3，从而b=1 其标准方程为 联立方程组，消去y得 设A，B，则 中点，= ，所以 所以线段AB中点坐标为 点睛：本题主要考查椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，要注意通性通法，即联立方程，看判别式，韦达定理的应用，同时也要注意一些细节，如相交与两点，要转化为判别式大于零来反映． 5． 【解析】 抛物线的方程为， 6． 2 【解析】 设过M的直线方程为，由 ∴，，由题意，于是直线方程为 ，，∴，焦点F（1，0）到直线的距离 ∴的面积是2 7．不存在 【详解】 由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0， =16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0． 设A（x1，y1），B（x2，