专题02 弦长问题-2021年新高考数学圆锥曲线专项练习

圆锥曲线的弦长问题 1．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，左端点为. （1）求椭圆的方程； （2）求过椭圆的右焦点且斜率为的直线被椭圆所截的弦的长. 2．已知椭圆的离心率为，点是椭圆上的两个点，点是线段的中点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求. 3．直线与抛物线有且仅有一个公共点，与处切线垂直的直线称为抛物线在点处的法线，为抛物线的焦点. （1）求直线的方程； （2）若直线与轴交于点，求证：； （3）若直线与轴交于点，设法线交轴于点，求线段的中点坐标； （4）若经过点的直线与抛物线相交于、两个不同的点，是否存在直线使得，又是否存在直线使得，请说明理由. 4．已知点P是圆上任意一点（F是圆心），点与点F关于原点对称，线段的垂直平分线与半径FP交于点M． （1）求点M的轨迹的方程； （2）过点F作的两条互相垂直的弦AB，CD，若，求证：为定值． 5．已知分别是椭圆C：（其中）的左、右焦点，椭圆C过点且与抛物线有一个公共的焦点. （1）求椭圆C的方程； （2）过椭圆C的右焦点且斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点，求线段的长度. 6．已知椭圆过点，且的离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于、两点，求的取值范围． 7．已知抛物线的焦点为，斜率为3的直线l与抛物线C交于A，B两点，与x轴交于点P. （1）若，求直线l的方程； （2）若，求弦的长. 8．已知椭圆的离心率为，且椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，且与圆交于两点，求的取值范围. 9．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点是椭圆上一个动点，面积的最大值是 （1）求椭圆的方程； （2），，，是椭圆上不同的四点，与相交于点，，的最小值． 10．已知椭圆的右顶点与的焦点重合.且椭圆的离心率为，过的右焦点且垂直于轴的直线截所得的弦长为 （1）求椭圆和抛物线的标准方程； （2）过点作两条互相垂直的直线，，直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点，求的取值范围 11．已知椭圆的离心率为，且过点，为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）圆的一条切线与椭圆相交于、两点，求： ①的值； ②的取值范围. 12．已知椭圆的离心率为，且经过点. （1）求椭圆的方程. （2）直线与椭圆交于两点. ①求（用实数表示）. ②为坐标原点，若，且，求的面积. 13．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过点，且是椭圆的内接三角形. （1）若点为椭圆的上顶点，且原点为的垂心，求线段的长； （2）若点为椭圆上的一动点，且原点为的重心，求原点到直线距离的最小值. 14．已知椭圆过点，，为椭圆的左右顶点，且直线，的斜率的乘积为. （1）求椭圆的方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值. 15．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为且过焦点垂直于轴的弦长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，点为直线上（不在轴上）的一动点． ①，求直线的斜率； ②设直线，，的斜率分别为，，，试探究：是否存在常数使得恒成立?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，总3页 试卷第1页，总3页 参考答案 1．（1）；（2）. 【分析】 （1）由抛物线的焦点可求得的值，由椭圆左端点可得的值，根据可得的值； （2）由点斜式易得直线的方程，把的方程代入椭圆方程消掉可得关于的二次方程，设，根据韦达定理及弦长公式即可得弦的长 【详解】 解：因为抛物线的焦点为（2，0），所以 又椭圆的左端点为 ， ，则， 故所求椭圆的方程为， （2）因为椭圆的又焦点 ， 的方程为， 代入椭圆C的方程， 化简得， 设，由韦达定理可知 所以， ， 由弦长公式得， 2．（1）；（2）. 【分析】 （1）由题意得，根据a，b，c的关系，可求得a的值，即可得答案； （2）解法一：由题意得AB的斜率存在，设为k，可得直线AB的方程，与椭圆联立，可得关于x的一元二次方程，根据韦达定理，可得的表达式，根据的中点为，可得k的值，代入弦长公式，即可得答案； 解法二：利用点差法，可求得直线AB的斜率k，进而可得直线AB的方程，与椭圆联立，可得关于x的一元二次方程，根据韦达定理，可得的值，代入弦长公式，即可得答案. 【详解】 （1）由条件知，，， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）解法一： 当直线斜率不存在时，线段的中点在轴上，不符合题意， 故可设直线的方程为，并设， 联立方程消去，得， ， 由点是线段的中点知，， 所以，解得， 代入得， 所以. 解法二： 当直线斜率不存在时，线段的中点在轴上，不符合题意， 设，其中，代入椭圆方程， ，两式相减得， 由点是线段的中点知，， 直线斜率为， 直线方程为， 联立方程，消去，得，