专题01 定值与定点问题-2021年新高考数学圆锥曲线专项练习

。 圆锥曲线的定值与定点问题 1．已知，椭圆过点，两个焦点为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值． 2．在直角坐标系中，曲线C：y=与直线交与M,N两点， （Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程； （Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由. 3．设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为. （1）当与轴垂直时，求直线的方程； （2）设为坐标原点，证明：. 4．已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上. （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点. 5．设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足. （1）求点P的轨迹方程； （2）设点在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F. 6．易知椭圆，其短轴为4，离心率为e1.双曲线的渐近线为，离心率为e2，且. （1）求椭圆E的方程； （2）设椭圆E的右焦点为F，过点G(4，0)斜率不为0的直线交椭圆E于M、N两点设直线FM和FN的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 7．已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求的方程； （2）是否存在直线与相交于两点，且满足：①与（为坐标原点）的斜率之和为2；②直线与圆相切，若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，总3页 试卷第1页，总3页 参考答案 1．(1)（2）直线的斜率为定值 【详解】 试题分析：(1) 由题意，设椭圆方程为，将代入即可求出，则椭圆方程可求. (2)设直线AE方程为：，代入入得 ，再由点在椭圆上，根据结直线的斜率与的斜率互为相反数，结合直线的位置关系进行求解． （1）由题意，设椭圆方程为， 因为点在椭圆上，所以，解得，舍去 所求椭圆方程为 （2）设直线方程为，代入得 设，，点在直线上 则，； 直线的斜率与直线的斜率互为相反数，在上式中用代替得 ，， 直线的斜率 所以直线的斜率为定值 考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题． 2．（Ⅰ）或（Ⅱ）存在 【详解】 试题分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将代入曲线C的方程整理成关于的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出关系，从而找出适合条件的P点坐标. 试题解析：（Ⅰ）由题设可得，，或，. ∵，故在=处的导数值为，C在处的切线方程为 ，即. 故在=-处的导数值为-，C在处的切线方程为 ，即. 故所求切线方程为或. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下： 设P（0，b）为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为. 将代入C得方程整理得. ∴. ∴==. 当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN，所以符合题意. 考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 3．（1）的方程为或；（2）证明见解析. 【分析】 （1）首先根据与轴垂直，且过点，求得直线的方程为，代入椭圆方程求得点的坐标为或，利用两点式求得直线的方程； （2）分直线与轴重合、与轴垂直、与轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果. 【详解】 （1）由已知得，l的方程为. 由已知可得，点的坐标为或. 所以的方程为或. （2）当与轴重合时，. 当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以. 当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，， 则，直线、的斜率之和为. 由得. 将代入得. 所以，. 则. 从而，故、的倾斜角互补，所以. 综上，. 【点睛】 该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论. 4．(1) . (2)证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点.另外由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k