题型06 求数列通项-2021年高考数学题型秒杀之数列

秒杀高考数学题型之求数列通项 【秒杀题型一】：已知 ，求 。 『秒杀策略』：分段表示： ，然后验证第一项是否在第二项以后的通项中，如果在则统一写，如果不在则分段写。 特殊地：① EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，当 时， 是等差数列，统一写；当 时， 从第二项起是等差数列，分段写。 ② EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，当 、 互为相反数时， 是等比数列，统一写；当 、 不互为相反数时， 从第二项起是等比数列，分段写。 【秒杀题型二】：由 与 、 (数列前n项乘积。)与 的关系求通项。 『秒杀策略』： 与 采用作差法： 与 的关系①，当取n-1(或n+1)时，得②；①-②后求通项。 与 采用作商法： 与 的关系①，当取n-1(或n+1)时，得②；②/①后求通项。 1.(2014年新课标全国卷I17)已知数列 的前n项和为 ， ，其中 为常数。 （1）证明： ； （2）是否存在 ，使得 为等差数列？并说明理由。 【解析】：（1） = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①， = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②，②－①得： ， ， 。 （2） 是隔项等差数列， 、 是公差为 的等差数列，要使 成等差数列，需 ， ，得 ，即存在 使得 为等差数列。 【秒杀公式1】： ，当 时， 是等比数列，统一写；当 时， 从第二项起是等比数列，分段写。 【秒杀公式2】： 是关于 的二次函数，作差后分解因式，得等差数列。 【秒杀题型三】：由 与 的关系求 的通项。 『秒杀策略』：由 ，转化为 的关系。 (2015年新课标全国卷II6)设 是数列 的前 项和，且 ， ，则 = 。 【解析】： ，得 ， 为等差数列， 。 2.(高考题)已知数列 的前 项和为 ， ， = ，则 = ( ) A. B. C. D. 【解析】： = EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，得 ，选B。 【秒杀题型四】：累加法求通项。 『秒杀策略』：当数列相邻两项之差是一个确定的数列时，利用累加法求通项。当数列相邻两项之比是一个确定的数列时，利用累积法求通项。 设 ，且 是已知数列，则求 步骤为： …… 累加得： ，可求出 。 1.(2010年新课标全国卷17)设数列 满足 。 （1）求数列 的通项公式； （2）令 ，求数列的前n项和 。 【解析】：（1） ，利用累加法可求出 ， EMBED Equation.DSMT4 是等比数列。 （2）符合错位相减法求和的特点，设 ①，两边同乘以公比 可得 ②，②－①得 。 【秒杀题型五】：构造数列求通项。 『秒杀策略』：主要有两类，一是显性构造(即题目中已知构造思路，按给定的思路构造。)，二是隐性构造(按已知特点构造数列。)。 必须掌握的 为常数， 型线性递推关系。 『解题策略』：一般形式： 为常数， ，可以构造一个等比数列，只要在每一项同加上一个常数即可，且常数 ， ，令 ，则 为等比数列，求出 ，再还原到 ， EMBED Equation.DSMT4 。 此类问题经常以应用题的形式出现，且其构造试题选材背景主要有以下几种： ①拆建房屋（住房面积）构造的应用题：如每年新增住房面积的比例是一个定值，同时每年要拆除一定面 积的旧房。 ②汽车保有量问题：如每年汽车量按一定增长率增长，而每年同时要报废一定量的汽车。 ③垃圾堆存量问题：如每年垃圾量按一定增长率增长，而每年同时要处理一定量的垃圾。 ④森林覆盖面积问题：如新种植面积按一定比例增长，而每年同时要砍伐一定量的树木。 1.(2018年新课标全国卷I17)已知数列 满足： ，设 。 （1）求 ； （2）判断数列 是否为等比数列，并说明理由； （3）求 的通项公式。 【解析】：（1）由条件可得 = ，将 代入得 ，而 ，所以 ，将 代入得 ，所以 ，从而 。 （2）显性构造：由条件得 ，即 ，b1=1，所以 是首项为1，公比为2的等比数列。 （3）由（2）可得 ，所以 。 2.(2014年新课标全国卷II17)已知数列 满足 。 （1）证明 是等比数列，并求 的通项公式； （2）证明： 。 【解析】：（1）显性构造： ， ， 。 放缩法：由 ， 。 3.(高考题)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 (单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除，当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为 （单位：m2）的旧住房。 （1）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式； （2）如果