题型08 正、余弦定理综合应用-2021年高考数学题型秒杀之三角

秒杀高考数学题型之正、余弦定理综合应用 【秒杀题型一】：面积、周长、边的计算。 『秒杀策略』：秒杀公式：配方： 。 1.(2012年新课标全国卷17)已知 、 、 分别为 三个内角 、 、 的对边， 。 （1）求 ； （2）若 ， 的面积为 ，求 、 。 【解析】：（1）两边为一次：由正弦定理得： EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，得 ， 。 （2） ， 。解得： 。 2.(2016年新课标全国卷I17) 、 、 分别为 三个内角 、 、 的对边，已知 （1）求 ； （2）若 的面积为 ，求 的周长。 【解析】：（1）两边为一次：由正弦定理得 , ， ，得 , 。 由 得 ，由余弦定理得 ， ， 的周长为 。 3.(2017年新课标全国卷II17) 、 、 为 三个内角 、 、 的对边，已知 。 （1）求 （2）若,面积为2,求 【解析】：（1）法一：依题得： ，两边平方，∵ ， ∴ ，∴ ，∴ 。 法二： ，得 ，由万能公式得 . （2）由（1）可知 ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ， ∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 。 4.(高考题)在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 的面积为 , ， ，则 的值为 。 【解析】： ，得 ，由余弦定理： ， 。 5.(2017年新课标全国卷I17) 的内角 的对边分别为 ，已知 的面积为 。 （1）求 ； （2）若 ，求 的周长。 【解析】：（1） EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，由正弦定理得： ， 。 （2） ，又 ， ， ， ， ，又 ,由余弦定理得： ， EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT , ， ， 。 周长 。(也可利用正弦定理 得 )。 【秒杀题型二】：面积、周长、边的最值。 【题型1】：系数一致。 『秒杀策略』：一般情况已知三角形的一边与其所对的角，有两种方法：设已知a，A。步骤规范模板： 方法一：Step1：由余弦定理可得： ； Step2：运用基本不等式：面积最值：由基本不等式得： EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ， 即： ， ，当且仅当 时取到最大值。 周长最值： = ，由基本不等式： ， 得 ，当且仅当 时取到等号。从而求得周长的最大值。 方法二：Step1：由正弦定理可得： (确定常数)，有 ， ； Step2：运用三角函数求最值：面积最值： ； 周长最值： ； Step3： 采用展开、降幂、合并化简为单一的三角函数求最值。 采用展开、合并化简为单一的三角函数求最值。 秒杀方法：均为等腰三角形取到最值。 1.(高考题)在 中，已知内角 ，边 ，设内角 ，周长为 。 （1）求函数 的解析式和定义域； （2）求 的最大值。 【解析】：（1）由正弦定理得： ， EMBED Equation.DSMT4 。 （2） ， ，当 时取最大值 。 2.(2010年辽宁卷)在 中，满足 。 （1）求 的大小； （2）求 的最大值。 【解析】：（1）由正弦定理得 ，即 ，由余弦定理得 。 由（1）得： = = ，当 时，取到最大值为1。 3.(2014年新课标全国卷I16)已知 分别为 的三个内角 的对边， =2，且 ，则 面积的最大值为 。 【解析】：等式两边均为二次，由正弦定理得： EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，方法一：不等式法：由余弦定理得： ，由基本不等式得 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，即 ， ，当且仅当 时取到等号。 方法二： ，由正弦定理： = ， ， ， = EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT ，当 时， 。 4.(2013年新课标全国卷II17) 的内角 的对边分别为 ，已知 。 （1）求 ； （2）若 ,求 面积的最大值。 【解析】：（1）由正弦定理： ，得 。 同上题， ，得 ，当 时， 。 5.(2020年新课标全国卷II17)在 中， 。 （1）求 ； （2）若 ，求 周长的最大值。 【解析】：（1）由正弦定理得 ，① 由余弦定理得 ，②，由①，②得 。 因为 ，所以 。 （2）由正弦定理及（1）得 ，从而 ， ， ，又 ，所以当 时， 周长取得最大值 。 【题型2】：系数不一致。 『秒杀策略』：方法一：运用三角函数求最值：采用展开、降幂、合并化简为单一的三角函数求最值。 方法二：判别式法求最值：利用余弦定理转化为某一条边的一元二次方程，利用 求最值。 1.(2011年新课标全国卷16)在