题型03 平面向量基本定理-2021年高考数学题型秒杀之平面向量

秒杀高考数学题型之平面向量基本定理 【秒杀题型一】：平面向量基本定理。 『秒杀策略』：(平面向量分解定理) 是平面内的两个不共线向量， 为该平面任一向量，则存在唯一实数对 ，使得 ， 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，对于起点相同的三个向量，如果满足平面向量基本定理： ，且 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 三点共线。 【题型1】：求系数。 『秒杀策略』：秒杀方法有三种：①绕法：利用平行四边形或三角形法则把所表示向量用已知向量表示。 ②坐标法：如果图形易建系，则建系后设出坐标，代入求出系数。 ③图形特殊化：如果图形不确定，则选取满足条件的特殊图形去求。 1.(2015年新课标全国卷I7)设 为 所在平面内一点, ,则 ( ) A. B. C. D. 【解析】：绕法：原式可化为： ， ，选A。 2.(2018年新课标全国卷I6)在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 ( ) A. B. C. D. 【解析】：绕法： ，选A。 3.(高考题)在平行四边形 中, , 为 的中点,则 。(用 表示) 【解析】：绕法： = 。 4.(高考题)已知 是 的边 上的中点，则向量 ( ) A. B. C. D. 【解析】：绕法： ，选A。 5.(高考题)在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 ， 于不同的两点 ，若 ， ，则 的值为 。 【解析】：绕法：，则M0N三点共线，所以。 6.(高考题)在平行四边形 中， 与 交于点 ， 是线段 的中点， 的延长线与 交于 点 ，若 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 【解析】：绕法：由平行线成比例可知：＝， ，选B。 7.(高考题)在平行四边形 中， 和 分别是边 和 的中点， = EMBED Equation.DSMT4 + EMBED Equation.DSMT4 ，其中 ， EMBED Equation.DSMT4 ，则 = 。 【解析】：绕法：=, 即：，得。 8.(高考题)设 分别是 的边 上的点， ， ，若 ( 为实数)，则 的值为 。 【解析】：，。 9.(高考题)已知菱形 的边长为2， ，点 分别在边 ， , ，若 ， ，则 = ( ) A. B. C. D. 【解析】：绕法：选C。 10.(高考题)在 中，点 ， 满足 ， ，若 ，则 ； 。 【解析】：绕法： ， 。 11.(高考题) 中， 边的高为 ，若 ， ， ，则 = ( ) A. B. C. D. 【解析】：由直角三角形射影定理得：，选D。 12.(高考题)若向量 = ， = ， = ，则 = ( ) A.3 + 　B.3 － C.－ +3 　 D. +3 【解析】：代入坐标可得，选B。 【题型2】：求最值。 『秒杀策略』：首先确定系数关系，利用系数关系求最值。 1.(高考题)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为 ，如图所示，点 在以 为圆心的圆弧 上运动，若则的最大值是 。 【解析】：法一：当 为弧中点时， 最大， 构成一个菱形，对角线恰为 ，故 。 法二：平方得： ，即 。 2.(2017年新课标全国卷III12)在矩形 中， ， ，动点 在以点 为圆心且与 相切 的圆上，若 ，则 的最大值为 ( ) A.3 B. C. D.2 【解析】：如图建立坐标系，则 ，代入坐标得： = ，选A。 【题型3】：三角形中平面向量中线定理。 『秒杀策略』：中线定理：如 为 边 上的中线，则 。 1.(2014年新课标全国卷I15)已知 是圆 上的三点,若 ,则 与 的夹角为 . 【解析】：由中线定理知 是 底边BC的中线，即 是 的中点，即 是直径， 与 的夹角为 。 2.(高考题)设 是 所在平面内的一点， ，则 ( ) A. B. C. D. 【解析】：由向量中线定理可知 = ，其中 是 的中点，即 重合，所