题型02 平面向量运算-2021年高考数学题型秒杀之平面向量

秒杀高考数学题型之平面向量运算 【秒杀题型一】：向量几何运算中的平行四边形法则与三角形法则。 『秒杀策略』：加法运算找首尾相连的向量(从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点)；减法运算要找起点相同的向量(指向被减数)。 SHAPE \* MERGEFORMAT 1.(2014年新课标全国卷II)设 分别为 的三边 的中点，则 ( ) A. B. C. D. 【解析】：由三角形中线向量性质得： ，选A。 2.(高考题)如图，正六边形 中，有下列四个命题： A. B. C. D. 其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号)。 【解析】：利用向量平行移动，对于选项A： ，正确； 对于选项B：同上，正确； 对于选项C：数量积可以转化为投影，因为 、 在 上的投影不同，错误； 对于选项D：同上，正确。选ABD。 3.(高考题)在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ， ，则 。 【解析】： ， 。 4.(高考题)已知直角梯形 中， ， ， 是腰 上的动点，则 的最小值为 。 【解析】：由三角形法则(首尾相连的向量)： , 当 时最小，最小值为5。 【秒杀题型二】：平行四边形两条对角线的向量性质。 『秒杀策略』： 与 分别是构成平行四边形的两条对角线，注意其几何意义。 ※注意两类平行四边形在向量中的应用：① (菱形两条对角线互相垂直)； ② (矩形两条对角线相等)； ※平行四边形性质：四条边的平方和等于两条对角线的平方和，即 或 。 ※三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量。 1.(2012年辽宁卷)已知两个非零向量 、 满足 ，则下面结论正确的是 ( ) A. B. C. D. 【解析】：两条对角线相等，可知是矩形，选B。 2.(2017年新课标全国卷II4)设非零向量 满足 ，则 ( ) A. B. C. D. 【解析】：两条对角线相等，可知是矩形，选A。 3.(高考题)设点 是线段 的中点，点 在直线 外， 则 = ( ) A.8 B.4 C.2 D.1 【解析】：由已知可得 ， 是 中点， 等于斜边 的一半，即 = =2，选C。 4.(2016年新课标全国卷I13)设向量 ， ，且 ，则 = 。 【解析】：法一：代入坐标可得 ; 法二：由条件可知 。 5.(2016年北京卷)设 是向量，则“ ”是“ ”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】：前面是菱形，后面是矩形，选D。 6.(高考题)已知向量 满足： 则 ( ) A.1 B. C. D. 【解析】：法一：平方得 EMBED Equation.KSEE3 ，选D。 秒杀方法：利用平行四边形两条对角线与四条边的关系可得。 7.(2020年新课标全国卷I14)设 为单位向量，且 ，则 。 【解析】：法一： ，得 ， 所以 。 法二：构成菱形， 夹角为 ，所以 。 8.(2011年辽宁卷)若 均为单位向量，且 ， ，则 的最大值为 ( ) A. B.1 C. D.2 【解析】：设 ， ，代入得 ， = ，选B。或由几何意义得到。 9.(高考题)在平面直角坐标系中, 为原点， ， ， ,动点 满足 ， 则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【解析】：设D（x,y），则有 ，轨迹表示圆，而 ，几何意义表示圆上的点到定点 的距离的最值，即圆心到定点的距离加、减半径， ，选D。 10.(2018年新高考浙江卷)已知 是平面向量, 是单位向量.若非零向量 与 的夹角为,向量 满 足 ,则 的最小值是 ( ) A.−1 B.+1 C.2 D.2− 【解析】：设 ， ，则有 ，设 ，代入得 ， 的最小值为圆心到直线的距离减去半