考点07 不等式 （考点详解）-2021年数学高考高分直通车（上海专用）

考点07 不等式 近年来高考对不等式的考查题型多为客观题。考查内容以三种形式呈现，一是考查不等式的解法、不等式的性质、基本不等式及其应。二是对简单线性规划的考查，其角度有两种：一种是求目标函数的最值或范围，另一种是提供目标函数的最值，逆向思维反求参数的范围；独立命题但难度中等偏下。三是作为选考系列由原来的三选一变为二选一、且以主观题的形式呈现，主要考查绝对值不等式的解法、不等式证明、求最值问题等。绝对值不等式与函数问题的综合是高考的趋势，值得关注。 一、等式与不等式的性质 1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b<0⇔a<b.)) (2)作商法eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1（a∈R，b>0）⇔a>b（a∈R，b>0），,\f(a,b)＝1⇔a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)<1（a∈R，b>0）⇔a<b（a∈R，b>0）.)) 2.等式的性质 (1)对称性：若a＝b，则b＝a. (2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c. (3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c. (4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd. 3.不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a＞b＞0⇒eq \r(n,a)＞eq \r(n,b)(n∈N，n≥2). 二、均值不等式及其应用 1.均值不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2) (1)均值不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)其中eq \f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)称为正数a，b的几何平均数. 2.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 3.利用均值不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p)(简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(s2,4)(简记：和定积最大). 三、从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－eq \f(b,2a) 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 eq \f({x|x＞x2,或x＜x1}) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a))) R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0 {x|x<a或x>b} {x|x≠a} {x|x<b或x>a} (x－a)·(x－b)<0 {x|a<x<b} ∅ {x|b<x<a} 4.分式不等式与整式不等式 (1)eq \f(f(x),g(x))>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)eq \f(f(x),g(x))≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 等式与不等式的性质 一、单选题 1．（2020·上海市崇明中学高三期中）下列选项是真命题的是（ ） A．若 ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ，则 【答案】D 【分析】取特殊值可判断ABC错误，根据不等式的性质可判断D正确. 【详解】对于A，若 ，当 时， ，故A错误； 对于B，令 ，此时 ，故B错误； 对于C，令 ，此时 ，故C错误； 对于D，若 ，则 ，故D正确.故选：D. 二、填空题 2．（2020·上海高