考点06 数列（考点专练）-2021年数学高考高分直通车（上海专用）

考点06 数列 数列的概念及简单表示方法 一、单选题 1．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）已知数列 为有穷数列，共95项，且满足 ，则数列 中的整数项的个数为（ ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根据题意有 均为整数，转化为 ，不难发现当 时 均为非负整数，验证当 、 时 和 是否为整数. 【详解】解：由 得 ， 要使 为整数，必有 均为整数，所以 ， 当 时 均为非负整数， 所以 为整数，共有14个，当 时， ，在 中 因数2的个数为 ， 同理计算可得 因数2的个数为82， 因数2的个数为110， 故 中因数2的个数为 ，从而 是整数， 当 时， ，同理 中因数2的个数小于10， 从而 不是整数，因此，整数项的个数为 ，故选：C. 【点睛】利用二项式定理解决整除问题的思路： （1）要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开； （2）用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意： 余数的范围， ，其中余数 是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负. 2．（2020·上海市奉贤区曙光中学高三期中）已知数列 满足 ， ，若 为周期数列，则 的可能取到的数值有（ ） A． 个 B． 个 C． 个 D．无数个 【答案】B 【分析】讨论出当 分别取 、 、 、 、 时，数列 为周期数列，然后说明当 时，分 为正奇数和正偶数两种情况分析出数列 不是周期数列，即可得解. 【详解】已知数列 满足 ， . ①若 ，则 ， ， ， ， ，以此类推，可知对任意的 ， ，此时， 为周期数列； ②若 ，则 ， ， ， ， ，以此类推，可知对任意的 ， ，此时， 为周期数列； ③若 ，则 ， ， ， ，以此类推，可知对任意的 ， ，此时， 为周期数列； ④若 ，则 ， ， ， ， ，以此类推，可知对任意的 ， ，此时， 为周期数列； ⑤若 ，则 ， ， ， ， ， ，以此类推，可知对任意的 且 ， ，此时， 不是周期数列； ⑥若 ，则 ， ， ， ，以此类推，可知对任意的 ， ， 此时， 为周期数列； ⑦若 ，则 ， ， ， ， ，以此类推，可知对任意的 且 ， ，此时， 不是周期数列； ⑧若 ，则 ， ， ， ， ，以此类推，可知对任意的 且 ， ，此时， 不是周期数列. 下面说明，当 且 时，数列 不是周期数列. （1）当 且 时，由列举法可知，数列 不是周期数列； （2）假设当 且 时，数列 不是周期数列，那么当 时. 若 为正偶数，则 ，则数列 从第二项开始不是周期数列，从而可知，数列 不是周期数列； 若 为正奇数，则 且 为偶数， 由上可知，数列 从第二项开始不是周期数列，进而可知数列 不是周期数列. 综上所述，当 且 时，数列 不是周期数列. 因此，若 为周期数列，则 的取值集合为 .故选：B. 【点睛】本题解题的关键是抓住“数列 为周期数列”进行推导，对于 的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证，对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决． 二、填空题 3．（2020·上海高三专题练习）已知数列 满足 ，则 __________. 【答案】 【分析】利用递推关系式推出数列 为等比数列，再由等比数列的通项公式即可求解. 【详解】 ， ，即 又 ， 是首项为3，公比为3的等比数列， ，故 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题考查等比数列的定义和等比数列的通项公式，求数列通项公式常用的方法：（1）由 与 的关系求通项公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）构造新数列法.考查了学生的转化与数学算能力，属于基础题. 4．（2020·上海虹口区·高三一模）已知数列 满足 ，且 (其中 为数列 前 项和)， 是定义在 上的奇函数，且满足 ，则 ___________. 【答案】 【分析】首先求出函数的周期性，再利用构造法求出数列 的通项公式，即可得到 ，再根据二项式定理判断 被 除的余数，即可计算可得； 【详解】解：因为 是定义在 上的奇函数，且满足 所以 ， 所以 的最小正周期为 又因为数列 满足 ，且 ①；当 时， ②； ①减②得 ，所以 ， 所以 以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ，即 ，所以 又 ，所以 被 除余 所以 ，故答案为：0 【点睛】本题考查函数的周期性的应用，若存在非零常数 ，若对定义域内任意的 都有 ，则 为函数的周期； 三、解答题 5．（2020·上海高三专题练习）数列 中， ， ，求 的通项公式. 【答案】 【分析】