考点06 数列（考点详解）-2021年数学高考高分直通车（上海专用）

考点06 数列 等差数列与等比数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样；客观题重点考查等差数列、等比数列基本量运算以及数列的递推关系。主观题随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，但以数学核心素养立意在知识的交汇点命题使客观题难度加大趋势明显；试题类型以新定义数列为背景，考查证明、判断数列是等差（等比）数列、数列探索性以及范围最值问题。 数列的概念及简单表示法 1.数列的定义 按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项 间的大 小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N+ 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式 (1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. (2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 等差数列及其前n项和 1.等差数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+，d为常数). (2)如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，且A＝eq \f(x＋y,2). 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）d,2)＝eq \f(n（a1＋an）,2). 3.等差数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差为md的等差数列. (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列. (5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也为等差数列. 三、等比数列及其前n项和 1.等比数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列. 数学语言表达式：eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数). (2)如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项，其中G＝±eq \r(xy). 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 通项公式的推广：an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq \f(a1（1－qn）,　1－q　)＝eq \f(a1－anq,1－q). 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝am·an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak， ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm. (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn. 四、数列求和及数列的综合应用 1.特殊数列的求和公式 (1)等差数列的前n项和公式： Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d. (2)等比数列的前n项和公式： Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.)) 2.数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (2)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. (3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个