考点05 平面向量（考点专练）-2021年数学高考高分直通车（上海专用）

考点05 平面向量 平面向量的概念及线性运算 一、单选题 1．（2019·上海市青浦高级中学高三月考）已知、均为单位向量，且，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由已知设各向量所对应的坐标，再结合向量模的几何意义，求出向量对应点的运动轨迹，再结合点到直线及两点的距离求解即可. 【详解】解：因为、均为单位向量，且，所以设，， ，,则, 由的几何意义为点到点的距离，的几何意义为点到点的距离， 因为，即，又，即点在线段上运动， 设 则的几何意义为点到点的距离， 又所在的直线方程为，则， 点到点的最大距离为点到点的距离，即为， 即 ，故选：B. 【点睛】本题考查了向量模的几何意义及动点的轨迹问题，重点考查了点到直线及两点的距离，属中档题. 2．（2020·上海高三其他模拟）对于平面向量 和给定的向量 ，记 ，若 对任意向量 恒成立，则 的坐标可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ．因为 ，所以 ．只有选项D的向量的模等于1．所以选D． 【点睛】根据 写出 ，因为 对任意向量 恒成立，所以两式右边相等，可得 ，验证四个选项即可． 3．（2020·上海高三专题练习）已知菱形 的边长为2， ，点 分别在边 上， , .若 ，则 等于(　　) A． B． C． D． 【答案】C 试题分析：，，即①，同理可得②，①+②得，故选C． 考点：1．平面向量共线充要条件；2．向量的数量积运算． 4．（2020·上海高三专题练习）设 ， ， 是平面内任意三点，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意结合平面向量线性运算法则、数量积的运算律得 ，即可得解. 【详解】由题意 ， 所以 .故选：B. 【点睛】本题考查了平面向量线性运算法则、数量积的运算律的应用，关键是对条件合理变形，属于基础题. 5．（2019·上海浦东新区·华师大二附中高三期中）已知 半径为 的圆 上的一条动弦，且 ， 为圆 内接正三角形边上一动点，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设 是动弦 的中点，判断 点的轨迹是以 为圆心、半径为2的圆，根据向量的线性运算法则，表达 ，即可求解. 【详解】由题意， 是半径为 的圆 上的一条动弦，设 是动弦 的中点， 则 ，故 点的轨迹是以 为圆心、半径为2的圆， 则 由 是 的中点，则 ， 则 ，由 ，则 因为 是圆 内接正三角形边上一动点， 是动弦 的中点， 所以当 取 点的轨迹与正三角形交点时， 是最小值， 此时 故选：C 【点睛】本题考查向量的线性运算及数量积运算求最值问题，考查转化与化归思想，属于中等题型. 6．（2019·上海徐汇区·高三月考）设 是 的垂心，且 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形垂心性质及已知条件可求得 ， ，由向量的夹角公式即可求解． 【详解】由三角形垂心性质可得， ，不妨设 x，∵3 4 5 ， ∴ ，∴ ，同理可求得 ， ∴ ．故选：D． 【点睛】本题考查平面向量的运用及向量的夹角公式，解题的关键是由三角形的垂心性质，进而用同一变量表示出 ，要求学生有较充实的知识储备，属于中档题． 二、填空题 7．（2018·上海市行知中学高三期中）已知两个不相等的平面向量 满足 ,且 与 的夹角为120°,则 的最大值是______ 【答案】 【分析】如下图所示：先过同一起点做出两个不相等的平面向量 ,运用平面向量的减法几何意义做出 ，运用正弦定理、三角函数的性质可以求出 的最大值. 【详解】如下图所示：设 ,则 , 且 . 在 中,由正弦定理可得： ,即 ,解得 ,因为 ,所以当 时, 有最大值,最大值为 . 故答案为： 【点睛】本题考查了平面向量模的最大值问题,考查了正弦定理的应用、正弦函数的最值,考查了平面向量减法的几何意义. 8．（2019·上海市大同中学）已知向量 满足 ， ，则 的取值范围是________ 【答案】 【分析】根据平面向量三角不等式可确定 与 同时成立，由此可得最小值；利用基本不等式可确定最大值，进而得到取值范围. 【详解】 且 （当且仅当 与 反向时取等号） （当且仅当 时取等号，此时 ） 综上所述： 的取值范围为 ，故答案为 【点睛】本题考查平面向量三角不等式和基本不等式在求解最值上的应用，关键是能够通过不等式的知识将问题转化为已知模长的运算问题；易错点是利用三角不等式时，忽略两个条件需同时成立，造成最小值求解错误. 9．（2019·上海青浦区·高三一模）已知平面向量 、 、 满足 ， ，且 ，则当 时， 的取值范围是_______ 【答案】 【分析】设 , , , ,,根据向量减法的几何意义,转化为