专题07 空间向量与立体几何-【备战高考】2021年高三数学高考复习刷题宝典（填空题专练）

专题7空间向量与立体几何 1．在三棱锥中，，，若该三棱锥的体积为，则其外接球表面积的最小值为_________． 2．圆锥底面半径为1，高为，点P是底面圆周上一点，则一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是___． 3．在三棱锥中，平面，，，，是线段上的动点，记直线与平面所成的角为，若的最大值为，为线段的中点，过点作三棱锥外接球的截面，则该截面面积的取值范围为________. 4．已知长方体的共顶点的三条棱长度之比为，且其外接球的表面积为，则该长方体的全面积为______. 5．在长方体中，底面是正方形，，E，F，G，H分别是，，，的中点，则异面直线与的夹角的余弦值为______. 6．已知圆锥的顶点为，母线与圆锥底面所成的角为，若圆锥的体积为，则此圆锥的侧面积为______. 7．如图，从一个边长为的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三棱柱的体积为______. 8．如图，圆锥形容器的高为，圆锥内水面的高为，且，若将圆锥倒置，水面高为，则等于________. 9．点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是__. 10．在一节手工课中，小明将一个底面半径为4、母线长为5的圆锥型橡皮泥捏成一个圆柱（橡皮泥的用量保持不变），则当这个圆柱的表面积最小时，该圆柱的底面半径为________． 11．如图，是边长为2的正方形，其对角线与交于点，将正方形沿对角线折叠，使点所对应点为，.设三棱锥的外接球的体积为，三棱锥的体积为，则__________． 12．如图，正方体的棱长为，动点在对角线上，过点作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为，设，则当时，函数的值域为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题7空间向量与立体几何 1．在三棱锥中，，，若该三棱锥的体积为，则其外接球表面积的最小值为_________． 【答案】 【解析】，，故底面三角形外接圆半径为， ，， 当时等号成立， 由，，， 当离平面最远时，外接球表面积最小，此时，在平面的投影为中点， 设球心为，则在上，故，化简得到， 注意到函数在上单调递增，故， 所以． 故答案为：. 2．圆锥底面半径为1，高为，点P是底面圆周上一点，则一动点从点P出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点P，则绕行的最短距离是___． 【答案】 【解析】把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短距离，即CP的长是蚂蚁爬行的最短路程，过A作AD⊥PC于D， 弧PC的长是2π⋅1=2π，则侧面展开图的圆心角是， ∴∠DAC=， ∵AC=3，∴，所以. 即蚂蚁爬行的最短路程是. 故答案为. 3．在三棱锥中，平面，，，，是线段上的动点，记直线与平面所成的角为，若的最大值为，为线段的中点，过点作三棱锥外接球的截面，则该截面面积的取值范围为________. 【答案】 【解析】如图，连接，因为平面，所以就是直线与平面所成的角， 当时，最大，此时有最大值，所以， 由题意可得，所以，又，所以，，所以. 过中点作，连接，此时， 所以，以为直径的截面为最小截面，此时截面的面积为：， 经过球心的截面为最大截面，连接，，作于H. 则，因为，所以点H是PA的中点， 又，所以，所以过球心的截面的面积为：， 所以该截面面积的取值范围为， 故答案为：. 4．已知长方体的共顶点的三条棱长度之比为，且其外接球的表面积为，则该长方体的全面积为______. 【答案】 【解析】设长方体外接球的半径为，则，， 设长方体的三条棱长分别为、、， 于是得，， 因此，该长方体的全面积为. 故答案为：. 5．在长方体中，底面是正方形，，E，F，G，H分别是，，，的中点，则异面直线与的夹角的余弦值为______. 【答案】 【解析】解：如图，在长方体中，取的中点，连接，， ∵分别是，，，的中点， 由长方体的性质可知， ∴（或其补角）为异面直线与所成的角， ∵，设正方形的边长为， ∴，，， ， 在中，由余弦定理得， ∴异面直线与的夹角的余弦值为， 故答案为：． 6．已知圆锥的顶点为，母线与圆锥底面所成的角为，若圆锥的体积为，则此圆锥的侧面积为______. 【答案】 【解析】根据题意，作图如下： 设圆锥的高为，则底面半径为，母线长， 由圆锥的体积公式可得，， 解得，所以所求圆锥的侧面积为 . 故答案为： 7．如图，从一个边长为的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好