专题14 不等式选讲-【备战高考】2021年高三数学高考复习刷题宝典（解答题专练）

专题14不等式选讲 1．（1）已知，当时，求x的取值范围. （2）已知，若对于一切，均有成立，求实数m的取值范围. 2．设函数， （1）证明：； （2）求不等式的解集； （3）当时，求函数的最大值 3．设函数，其中 （1）若不等式 的解集是 ，求的值； （2）在（1）的条件下，若不等式的解集非空，求实数的取值范围. 4．（1）求函数的最大值. （2）若实数，，满足，证明：，并说明取等条件. 5．设函数的最小值为m，且. （1）求m及t的值； （2）若正实数a，b，c满足.证明：. 6．已知函数. （1）解不等式：； （2）已知实数满足：对都有，若，，且，求最小值. 7.已知函数 . （1）若 在 上单调递增，求实数 的取值范围； （2）当 时，若实数 满足 ，求证： 8.设函数 . （1）若函数 有零点,求实数 的取值范围; （2）记（1）中实数 的最大值为 ,若 , 均为正实数,且满足 ,求 的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题14不等式选讲 1．（1）已知，当时，求x的取值范围. （2）已知，若对于一切，均有成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由题意，函数， 因为，即， 当时，不等式可化为，解得，即； 当时，不等式可化为恒成立，； 当时，不等式可化为，解得，即， 综上可得，实数x的取值范围. （2）由对于一切，均有成立， 即在恒成立， 即在恒成立，等价于在恒成立， 因为，可得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即实数m的取值范围. 2．设函数， （1）证明：； （2）求不等式的解集； （3）当时，求函数的最大值 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】（1）当时， 当时， 此时 当时， 综上所述： （2）当时，由得：，无解 当时，由得：，解得： 当时，由得：，解得： 综上所述：不等式的解集为： （3）由题意得： ，则 3．设函数，其中 （1）若不等式 的解集是 ，求的值； （2）在（1）的条件下，若不等式的解集非空，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）因为,即为， 即，， 即 因为其解集为， 所以且， 解得：，满足； 故. （2）由（1）知， 不等式的解集非空，即不等式有解， 即为有解. 作出函数的图象， 由图象可得或 . 则有k的取值范围为. 4．（1）求函数的最大值. （2）若实数，，满足，证明：，并说明取等条件. 【答案】（1）；（2）证明见解析；当，时取等. 【详解】（1），等号成立， 当且仅当或，所以. （2）， 当且仅当，时取等，所以存在实数，满足条件. 5．设函数的最小值为m，且. （1）求m及t的值； （2）若正实数a，b，c满足.证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【详解】（1）解：由则函数在上单减，上单增，且是连续函数，所以在时取得最小值，. （2）证明：因为a，b，c均为正实数，，由柯西不等式， ，即，当且仅当时，取等号. 6．已知函数. （1）解不等式：； （2）已知实数满足：对都有，若，，且，求最小值. 【答案】（1）；（2）12. 【详解】（1） 当时，由得，则 当时，由得，则 当时，由，则 综上，不等式的解集： （2）已知对都有，则. 则在上是减函数，在上是增函数. 所以. ，即， 则 ， 当且仅当，即，，时，等号成立 所以，. 7.已知函数 . （1）若 在 上单调递增，求实数 的取值范围； （2）当 时，若实数 满足 ，求证： 【答案】（1） （2）见解析 【解析】（1）解： ， 由 在 上单调递增， 故当 时， 恒成立， 即 恒成立. 设 ， ， 因为 ，所以 ， 所以 ，即 . 故 在 上单调递增， 故 ，故 （2）解：当 时， ， ， 故 在 上单调递增， 又因为 ，且 ， 故 . 要证 ，只需证 ， 因为 在 上单调递增， 故只需证 ， 即只需证 ， 即只需证 . 令 ， ， 令 ， 则 ， 所以 在 上单调递增， 所以 ， 故 在 上单调递减， 故 ， 故原不等式成立. 8.设函数 . （1）若函数 有零点,求实数 的取值范围; （2）记（1）中实数 的最大值为 ,若 , 均为正实数,且满足 ,求 的最小值. 【答案】 （1） .（2） 【解析】（1）解：依题意可知二次方程 有解, ,即 . ①当 时, , ; ②当 时, 恒成立, ; ③