专题10 推理与证明-【备战高考】2021年高三数学高考复习刷题宝典（解答题专练）

专题10推理与证明 1．已知函数，设为的导数，． （1）求，； （2）猜想的表达式，并证明你的结论． 2．已知，，…，是由（）个整数，，…，按任意次序排列而成的数列，数列满足（）. （1）当时，写出数列和，使得. （2）证明：当为正偶数时，不存在满足（）的数列. （3）若，，…，是，，…，按从大到小的顺序排列而成的数列，写出（），并用含的式子表示. （参考：.） 3．已知， （） （1）计算这个数列前4项，并归纳该数列一个通项公式． （2）用数学归纳法证明上述归纳的通项公式 4．已知都是正数，求证： 5． 在数列中，，且. (1) 求，猜想的表达式，并加以证明； (2) 设，求证：对任意的自然数，都有； 6．已知，（其中） . (1)求； (2)求证：当时，． 7．设个正数满足且. （1）当时，证明：； （2）当时，不等式也成立，请你将其推广到且个正数的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明. 8．已知函数，，对于任意的，都有. （1）求的取值范围 （2）若，证明：（） （3）在（2）的条件下，证明： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题10推理与证明 1．已知函数，设为的导数，． （1）求，； （2）猜想的表达式，并证明你的结论． 【答案】,； ，证明见解析 【解析】（1） ，其中， [ ，其中， （2）猜想， 下面用数学归纳法证明： ①当时，成立， ②假设时，猜想成立 即 当时， 当时，猜想成立 由①②对成立 2．已知，，…，是由（）个整数，，…，按任意次序排列而成的数列，数列满足（）. （1）当时，写出数列和，使得. （2）证明：当为正偶数时，不存在满足（）的数列. （3）若，，…，是，，…，按从大到小的顺序排列而成的数列，写出（），并用含的式子表示. （参考：.） 【答案】（1），，；，，或，，；，，.（2）证明见解析（3）（）； 【解析】（1），，；，，. ，，；，，. [证明]（2）若（），则有，于是. 当为正偶数时，为大于1的正奇数，故不为正整数. 因为，，…，均为正整数，所以不存在满足（）的数列. [解]（3）（）. 因为，于是 . 3．已知， （） （1）计算这个数列前4项，并归纳该数列一个通项公式． （2）用数学归纳法证明上述归纳的通项公式 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】试题分析：（1）把 代入递推公式即可求出； （2）先验证 ，再假设 猜想成立，推导 是否成立即可． 试题解析： （1），归纳 （2）当n=1时，显然成立； 假设命题成立，即，则 所以当n=k+1时，命题也成立 故，对任意的，恒成立 4．已知都是正数，求证： 【答案】见解析． 【解析】试题分析：由基本不等式及得，，同理得出三个相应的不等式相加即可． 试题解析：证明：因为，所以① 同理②③ ①②③相加得， 从而． 由都是正数，得， 因此． 5． 在数列中，，且. (1) 求，猜想的表达式，并加以证明； (2) 设，求证：对任意的自然数，都有； 【答案】（1），；猜想，证明见解析.（2）见解析. 【解析】（1）容易求得：，-- 故可以猜想，下面利用数学归纳法加以证明： （i） 显然当时，结论成立，- （ii） 假设当；时（也可以），结论也成立，即 ，- 那么当时，由题设与归纳假设可知： 即当时，结论也成立，综上，对,成立． （2）- 所以 - 所以只需要证明 （显然成立） 所以对任意的自然数，都有 6．已知，（其中） . (1)求； (2)求证：当时，． 【答案】（1）（2）见解析 【解析】(1)取，则；取，则， ∴； (2)要证，只需证， 当时，； 假设当时，结论成立，即， 两边同乘以3 得： 而 ∴，即时结论也成立， ∴当时，成立. 综上原不等式获证. 7．设个正数满足且. （1）当时，证明：； （2）当时，不等式也成立，请你将其推广到且个正数的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明. 【答案】(1)见解析. (2)见解析. 【解析】试题分析：（1）由于与积为，所以利用基本不等式进行证明：，，，三式相加得，即（2）本题结构对称，易于归纳出，用数学归纳法证明时的难点在于明确时式子与式子关系：其差为，问题转化为证明，这可利用作差，因式分解得证. 试题解析：（1）证明：因为（且）均为正实数， 左—右= =0， 所以，原不等式成立． （2）归纳的不等式为： （且） 记， 当（）时，由（1）知，不等式成立； 假设当（且）时，不等式成立，即 ． 则当时， = = =， 因为，，， 所以， 所以当，不等式成立． 综上所述，不等式（且）成立． 8．已知函数，，对于任意的，都有. （1）求的取值范围 （2）若，证明：（） （3）在（2）的条件下，证明：