专题07 空间向量与立体几何-【备战高考】2021年高三数学高考复习刷题宝典（解答题专练）

专题7空间向量与立体几何 1．已知点在同一个球的球面上，，若四面体外接球的球心恰好在侧棱上，，求四面体的体积． 2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，E为PC的中点，PB＝PD． （1）证明：BD⊥平面PAC． （2）若PA＝PC＝2，求三棱锥E﹣BCD的体积． 3．如图甲，直角梯形ABCD中，AB∥CD，，点M、N分别在AB、CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC＝2，MB＝4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直（如图乙） （1）求证：AB∥平面DNC； （2）当DN的长为何值时，二面角D－BC－N的大小为？ 4．如图，用半径为cm，面积为cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 该容器最多盛水多少？（结果精确到0.1 cm3） 5．如图（1）是一个水平放置的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，D是棱BC的中点，正三棱柱的正（主）视图如图（2）． （1）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积； （2）证明：A1B∥平面ADC1； 6．平行四边形中，，沿将折起，使二面角是大小为锐角的二面角，设在平面上的射影为． （1）当为何值时，三棱锥的体积最大？最大值为多少？ （2）当时，求的大小． 7．三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，分别是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求二面角的余弦值. 8．如图所示，三棱锥中，平面，，平面经过棱的中点，与棱，分别交于点，，且平面，平面. （1）证明：平面； （2）若，点在直线上，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题7空间向量与立体几何 1．已知点在同一个球的球面上，，若四面体外接球的球心恰好在侧棱上，，求四面体的体积． 【答案】 【解析】 由，可知， 取的中点，则点为外接圆的圆心，又为四面体外接球球心， 所以平面，且为的中位线， 所以平面， 故三棱锥的体积为． 2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，E为PC的中点，PB＝PD． （1）证明：BD⊥平面PAC． （2）若PA＝PC＝2，求三棱锥E﹣BCD的体积． 【答案】（1）见解析．（2）． 【解析】（1）连接A、C，交BD于O，连接p、O， ∵O是正方形ABCD的对角线交点， ∴BD⊥AC，又∵PB＝PD，O是BD的中点，∴BD⊥PO， 又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面PAC． （2）∵PA＝PC＝2，∴△PAC是等腰三角形， 又∵O是AC的中点，∴PO⊥AC， ∴PO⊥平面ABCD． ∵AB，∴AO1， ∴PO， 又∵E是PC的中点，∴E到平面ABCD的距离是P到平面ABCD的距离的一半， ∴VE﹣BCD． 3．如图甲，直角梯形ABCD中，AB∥CD，，点M、N分别在AB、CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC＝2，MB＝4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直（如图乙） （1）求证：AB∥平面DNC； （2）当DN的长为何值时，二面角D－BC－N的大小为？ 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）∵MB∥NC，MB不在平面DNC内，NC平面DNC， ∴MB∥平面DNC. 同理MA∥平面DNC， 又MA∩MB＝M且MA、MB平面MAB， ∴平面MAB∥平面NCD， 又AB平面MAB， ∴AB∥平面NCD. （2）过N作NH⊥BC交BC延长线于H，连结DH， ∵平面AMND⊥平面MNCB，DN⊥MN ∴DN⊥平面MNCB，从而DN⊥BC， 结合NH⊥BC可得BC⊥平面HND，故BC⊥HD， ∴∠DHN为二面角D－BC－N的平面角． 由BC＝2，MB＝4，MC⊥CB，知， ∴ 由条件知：， ∴ 4．如图，用半径为cm，面积为cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 该容器最多盛水多少？（结果精确到0.1 cm3） 【答案】1047.2cm3 【解析】解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器的高和底面半径分别为h、r，则由题意得R=，由得；　 由得； 由得； 由 所以该容器最多盛水1047.2cm3 5．如图（1）是一个水平放置的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，D是棱BC的中点，正三棱柱的正（主）视图如图（2）． （1）求正三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积； （2）证明：A1B∥平面ADC1； 【答案】（1）．（2）见解析. 【解析】（1）依题意，在正三棱柱中，， AA1＝3，从而AB＝2，AA1⊥平面ABC， 所以正三棱柱的体积． （2）连接A1C，设A1C∩AC1＝E， 连接DE，因为AA1C1C是正三棱柱的侧面， 所以AA1C1C是矩形，E是A1C的中点， 所以DE是△A1BC的中位线，DE∥A1B，